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關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 《算法初步》 教學(xué)反思
《算法初步》一章的教學(xué)終于在高二開學(xué)后三周內(nèi)結(jié)束了。這是高中數(shù)學(xué)必修模塊中唯一新增章節(jié),對(duì)于進(jìn)行這一章節(jié)教學(xué)的數(shù)學(xué)教師而言,實(shí)在是感觸良多。因?yàn)椴坏珱]有教過,自己也未學(xué)過??梢哉f對(duì)于這一章的教學(xué),教師是與學(xué)生同摸索共成長。筆者就以下幾個(gè)方面進(jìn)行這一章的教學(xué)反思:
一、滲透算法意識(shí),展現(xiàn)知識(shí)體系
對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí),既要呈現(xiàn)知識(shí),又要使學(xué)生體會(huì)人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)經(jīng)歷的一切,因此很多時(shí)候教材中只能看到漂亮的結(jié)論和嚴(yán)格的證明。由此產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)困難問題必須通過教師的教學(xué)加以解決。這就需要教師首先了解清楚所教的內(nèi)容的發(fā)生發(fā)展過程,在教學(xué)過程中,有意識(shí)有目的地進(jìn)行滲透和展現(xiàn)。
正如本章引言中所述:“算法并不是一個(gè)全新的概念?!彼惴ㄊ菍W(xué)生既陌生又熟悉的內(nèi)容。因?yàn)樾抡n程的關(guān)系,在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段會(huì)讓教師學(xué)生都不斷地有“歸零”的機(jī)會(huì),經(jīng)驗(yàn)有時(shí)是墊腳石,有時(shí)又是絆腳石,教科書上是用回顧一元二次方程組x-2y=-12x+y=1的求解過程,歸納出步驟來引入算法的。而以學(xué)生的固有思維,往往只關(guān)注解法,會(huì)對(duì)書上明確而有限的共五步步驟解決x-2y=-12x+y=1覺得費(fèi)解。在他們看來,如此簡單的題目,一兩步就夠了,為什么要分五步進(jìn)行?
由于算法思維側(cè)重于思維的構(gòu)造性實(shí)踐,注重于獲得結(jié)果并將取得的結(jié)果構(gòu)造出來,即注重歸納思維,算法可以使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為一種可操作的教學(xué)過程,通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造,經(jīng)歷反思性循環(huán)、體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程,從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué),注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),體驗(yàn)創(chuàng)造性工作的歷程。算法有利于發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),有利于對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式做出理性思考和判斷。因此,對(duì)算法思想的初步認(rèn)識(shí),已經(jīng)成為現(xiàn)代人所具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的算法思想,幫助他們構(gòu)建算法意識(shí),從“算法的視角”看待和解決問題,必將有利于提升學(xué)生的創(chuàng)新性思維水平。
二、體現(xiàn)算法應(yīng)用,展示框圖意義
程序框圖能夠更加直觀、清楚地描述算法步驟。教科書首先展示了一個(gè)較為復(fù)雜的、完整的程序框圖,然后分解出這個(gè)程序框圖中的三種基本的邏輯結(jié)構(gòu),接著分別用簡單的例子對(duì)這三種結(jié)構(gòu)作詳細(xì)的闡述。三種基本邏輯結(jié)構(gòu)與程序框圖是算法的教學(xué)重點(diǎn),但是程序框圖感覺上有點(diǎn)“不上不下”的狀況。因?yàn)槌绦蚩驁D既不同于算法的自然語言描述那樣淺顯易懂,又不同于程序那樣能被計(jì)算機(jī)所識(shí)別,那么程序框圖為什么是算法的教學(xué)重點(diǎn)?依據(jù)是什么?重要地位如何凸顯?
隨著教學(xué)的展開,對(duì)于算法的基本思想,學(xué)生都已有所了解,有所掌握。但在做練習(xí)題時(shí)困難也開始顯現(xiàn)。因?yàn)樗惴ㄟ@一塊內(nèi)容是全新的,剛開始接觸時(shí),了解的少,未知的也少。隨著對(duì)算法了解的深入,未知的東西也會(huì)越來越多。例如:作業(yè)本上有這樣一道題:
x=1
y=1
WHILE x<=4
z=0
WHILE y<=x+2
z=z+1
y=y+1
WEND
PRINT z
x=x+1
y=1
WEND
END
問程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果。
學(xué)生解決這道題時(shí)覺得眼花繚亂。連本身已經(jīng)對(duì)自己挺自信的學(xué)生都覺得有些頭疼,因?yàn)閺某绦蛏峡磥恚_實(shí)有些千頭萬緒,找不到切入點(diǎn),但如果將其改寫成算法程序框圖,馬上可以做到“其意自現(xiàn)”。其實(shí)算法教學(xué)越進(jìn)行到后段,越有體會(huì)和感觸――程序框圖真是十分重要十分有效。算法程序框圖的確能起到橋梁的作用,它將自然淺顯的算法自然語言描述與計(jì)算機(jī)語言緊密地結(jié)合在一起,它既有算法自然語言的直白也有算法程序的理智和條理。把握住了算法程序框圖,實(shí)際上也就是把握住了算法的精髓。
因此在教學(xué)中教師要強(qiáng)調(diào)算法程序框圖,要求學(xué)生不但能將程序框圖轉(zhuǎn)化為算法程序,還能將算法程序轉(zhuǎn)化為程序框圖。事實(shí)上,每一種程序設(shè)計(jì)語言都是為特殊的目標(biāo)而創(chuàng)建的,都是將算法轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)程序的工具,因此它們之間的差別只是一件小事,算法才是關(guān)鍵所在。在數(shù)學(xué)課程中,教師應(yīng)該盡力讓學(xué)生在簡單的計(jì)算機(jī)語言環(huán)境中學(xué)習(xí)算法的基本知識(shí),而把有效設(shè)計(jì)、實(shí)現(xiàn)、調(diào)試和測(cè)試程序的任務(wù)留待信息技術(shù)等課程來解決。就此方面來說,在教學(xué)中應(yīng)把程序框圖作為描述算法的主要工具。
三、重視算法本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生思考
“在算法教學(xué)中,學(xué)生將學(xué)習(xí)算法的初步知識(shí),并通過對(duì)具體算法案例的分析,體驗(yàn)算法在解決問題中的重要作用,培養(yǎng)算法基本思想,提高邏輯思維能力,發(fā)展有條理的思考與數(shù)學(xué)表達(dá)的能力”。
輸出S
結(jié)束
毫無疑問,正確。可是為什么教科書上用的是累加的“笨”辦法,而對(duì)于這種看起來簡捷又很好的辦法卻提都不提?
事實(shí)上,對(duì)于從1到100的100個(gè)數(shù)相加的問題,依次累加存在著基本邏輯結(jié)構(gòu):①順序結(jié)構(gòu):第一步,第二步,……,一直做至第一百步,在這樣的操作順序下可以得出求和的結(jié)果。②循環(huán)結(jié)構(gòu):每一行都在“重復(fù)”同一結(jié)構(gòu)A+i=S的運(yùn)算。③條件結(jié)構(gòu):“重復(fù)”操作至i=100停止。
所以,教科書上所提出的兩種程序框圖都是在關(guān)注結(jié)構(gòu)的背景之下產(chǎn)生的。算法是一種解決問題的方法,算法與解法有聯(lián)系也有區(qū)別,算法關(guān)注問題的基本邏輯結(jié)構(gòu)。同一個(gè)問題雖然會(huì)有不同的算法可以解決,但設(shè)計(jì)算法通常針對(duì)解決“某一類問題”,也就是算法所追求的普適性。
由此可見,在算法教學(xué)中,一條最基本的原則就是在各種教學(xué)活動(dòng)中,努力創(chuàng)造各種適用于解決各種問題的有效算法,不斷提升學(xué)生的算法思維層次和水平。
四、尋求算法原型,體會(huì)古典算法
通過對(duì)解決具體問題過程與步驟的分析,學(xué)生也能體會(huì)到算法的思想,理解算法的含義;通過模仿、操作、探索,把算法轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)可執(zhí)行程序,應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決相應(yīng)的問題,從而讓學(xué)生體會(huì)到雖然有時(shí)算法過程很復(fù)雜或計(jì)算很繁雜,但在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行,很快就可以獲得解決問題的結(jié)果,并且一種算法可以解決一類的問題。
從古到今,“算法”都在扮演著重要的時(shí)代角色。中國古代數(shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)史上一度居于領(lǐng)先地位,古典算法注重實(shí)際問題的解決,以算法為中心,寓理于算,其中蘊(yùn)涵了豐富的算法思想。比如說秦九韶算法。
如果說對(duì)秦九韶算法的學(xué)習(xí)是“認(rèn)識(shí)”,那么,讓學(xué)生對(duì)秦九韶算法的認(rèn)識(shí)過程及運(yùn)用則是“實(shí)踐”,實(shí)踐―認(rèn)識(shí)―再實(shí)踐―再認(rèn)識(shí),這是認(rèn)識(shí)發(fā)展的必然規(guī)律。因此,教師要精心設(shè)計(jì)訓(xùn)練的平臺(tái),將秦九韶算法的思想與學(xué)生原有知識(shí)建立起聯(lián)系,讓學(xué)生感受到中國古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。教育心理學(xué)表明,學(xué)習(xí)的疑難太多,會(huì)影響到學(xué)生的信心。對(duì)于一些新的知識(shí),其與學(xué)生已有的知識(shí)沒有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系,必須提前給予解釋,對(duì)于如何表述要給予示范。如程序框圖能使學(xué)生的思維更規(guī)范、更科學(xué)。對(duì)秦九韶算法的認(rèn)識(shí)、理解,不僅來源于會(huì)寫算法,會(huì)將算法轉(zhuǎn)化成程序框圖,更來源于用程序框圖寫出計(jì)算機(jī)識(shí)別的程序。由以上程序框圖對(duì)應(yīng)寫出程序:
評(píng)析:根據(jù)程序框圖及前面提到的循環(huán)結(jié)構(gòu)、遞推公式,引導(dǎo)學(xué)生選對(duì)循環(huán)語句寫出程序,問題就會(huì)迎刃而解。
再如,中國古算中用“更相減損術(shù)求等”的方法,其原理是在運(yùn)算過程中,實(shí)施“更相減損”的機(jī)械化程序,使整數(shù)逐步減少,但“等”卻始終不變,而且總可以在有限步驟內(nèi)將其求出,故它是一種構(gòu)造性的思維方法。有限構(gòu)造是算法的核心,構(gòu)造性解決問題是數(shù)學(xué)解題的重要方法,也是數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要流派。因此,算法思維的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解構(gòu)造性數(shù)學(xué)。
實(shí)踐證明,在算法教學(xué)過程中,應(yīng)盡可能選取最簡單、最典型的算法模型作為載體。這是因?yàn)?,一方面,算法教學(xué)目標(biāo)就是介紹算法的基本思想和初步知識(shí),另一方面,算法本身來源于具體問題。古往今來,一直如此,所以空講理論學(xué)生難以真正理解,而從簡單典型、學(xué)生熟悉的算法模型中挖掘、提煉出來的思想方法,更容易被學(xué)生接受。
把算法轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)可執(zhí)行程序,應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決相應(yīng)的問題,可使學(xué)生體會(huì)到,雖然有時(shí)算法過程很復(fù)雜或計(jì)算很繁雜,但在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行,很快就可以獲得解決問題的結(jié)果,并且一種算法可以解決一類的問題,讓人從一些機(jī)械重復(fù)、繁雜的工作中解放出來。同時(shí)通過電腦操作,讓學(xué)生自我去探索,及時(shí)驗(yàn)證自己的算法是否可行,及時(shí)獲得成就感,激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣,也符合新課程的理念。我們擁有豐富的資源,只要認(rèn)真去探索、研究、實(shí)踐,我們就可以大有作為,這也是數(shù)學(xué)教師的重要使命。
參考文獻(xiàn):
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[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修3教師教學(xué)用書.人民教育出版社,2007.2.
[3]李亞玲.算法及其學(xué)習(xí)意義[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2004.2.
[4]李建華.算法及其教育價(jià)值[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004.3.
一、高考的命題特點(diǎn)與形式
在江蘇高考中對(duì)算法初步的考查一般以填空題的形式出現(xiàn),考查的熱點(diǎn)是算法的流程圖、基本的算法語句等內(nèi)容.在高考中算法初步知識(shí)常與函數(shù)、數(shù)列、三角、概率、實(shí)際問題等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合,是高考試題命制的新”靚”點(diǎn).
二、高考命題的趨向和預(yù)測(cè)
1.考察算法流程圖的功能
此類題目有兩種題型:一是給出流程圖考察其功能;二是考查流程圖輸出的結(jié)果.主要考查學(xué)生閱讀流程圖的能力,對(duì)算法理解的程度.
例1 (2007·山東,理10文10)閱讀下面的程序框圖,若輸入的n是100,則輸出的變量S和T的值依次是( ).
A.2500,2500;_____________B.2550,2550;
C.2500,2550; D.2550,2500.
答案 D
解析 對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來說,“n
對(duì)S而言,n從100開始,可運(yùn)算到n=2(n≥2),共進(jìn)行了50次運(yùn)算.
對(duì)T而言,n從99開始,可運(yùn)算到n=1,共進(jìn)行了50次運(yùn)算.其運(yùn)算為:
第1次循環(huán)后,S=100,T=99;
第2次循環(huán)后,S=100+98,T=99+97;
……
第50次循環(huán)后,S=100+98+96+…+2=2550,
T=99+97+95+…+1=2500.故選D.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查算法程序框圖、數(shù)列的簡單求和等基礎(chǔ)知識(shí),以及數(shù)據(jù)處理能力、語言轉(zhuǎn)換能力和算法思想.此類題型的易錯(cuò)點(diǎn)是:如果對(duì)控制變量沒有“控制”好,將會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算次數(shù)多或少.
例2 (2009江蘇卷)圖是一個(gè)算法的流程圖,最后輸出的_____________.
答案 22
解析 根據(jù)流程圖可得
由以上分析,輸出結(jié)果是“W=22”.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了對(duì)流程圖的認(rèn)識(shí),題目中含有三個(gè)變量,其中T是計(jì)數(shù)變量,它的初始值是1,步長是2,S和W是求和(差)變量,它們隨T變化而變化,當(dāng)滿足條件“S≥10”時(shí)輸出結(jié)果.
2.完善算法流程圖中的條件或內(nèi)容
在不完整的算法流程圖中,填補(bǔ)一些條件或內(nèi)容,是高考考查算法知識(shí)的另一種重要題型.此類試題要求學(xué)生首先要能讀懂所給算法想要解決什么問題,在這個(gè)基礎(chǔ)之上再補(bǔ)全流程圖中的條件或內(nèi)容以達(dá)到解決問題的目的.
例3 圖(1)是某縣參加2012年高考學(xué)生身高的條形圖,從左到右的各條形圖表示學(xué)生人數(shù)依次記為A1,A2,…,A10(如A2表示身高(單位:cm)在[150,155) 內(nèi)的人數(shù).圖(2)是統(tǒng)計(jì)圖(1)中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的學(xué)生人數(shù),那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是 .
答案 i
解析 這是一道算法與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的題目,要求我們通過閱讀、理解題目意思,理解程序框圖的功能,從而完成算法.要統(tǒng)計(jì)的是身高在160~180cm之間的學(xué)生的人數(shù),即是要計(jì)算A4,A5,A6,A7的和,流程圖使用了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),判斷框內(nèi)需填寫循環(huán)的終止條件,下標(biāo)i為循環(huán)變量,4為i的初始值,7為i的終止值,執(zhí)行4次循環(huán)即可得到所需的結(jié)果,故流程圖中空白框應(yīng)是i
點(diǎn)評(píng):本題主要考查條形圖和算法的程序框圖.由條形圖確定算式是基礎(chǔ),弄清算法流程圖的邏輯結(jié)構(gòu)是解決本題的關(guān)鍵.
3.算法初步知識(shí)的綜合應(yīng)用
算法初步知識(shí)的綜合應(yīng)用主要是借助流程圖與函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)進(jìn)行融合,這類試題是高考命題的熱點(diǎn),應(yīng)引起足夠的重視.
例4 (2010江蘇卷7)圖是一個(gè)算法的流程圖,則輸出的S值是_____________.
答案 63
解析 流程圖求解過程如下:
點(diǎn)評(píng):本題考查對(duì)流程圖的理解,屬于循環(huán)結(jié)構(gòu)中的直到型循環(huán),在執(zhí)行了一次循環(huán)體之后,對(duì)控制循環(huán)結(jié)構(gòu)的條件進(jìn)行判斷,當(dāng)條件不滿足時(shí)就執(zhí)行循環(huán)體,滿足則停止.本題融算法、數(shù)列求和于一體,雖屬常規(guī)題,但由于背景不同,有力地考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列、流程圖等知識(shí)的掌握情況以及分析問題和解決問題的能力.
例5 (2012江蘇高考)圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的k的值是_____________.
答案 5
解析 由k2-5k+4>0,得k>4或k
點(diǎn)評(píng):本題將算法與不等式有機(jī)地結(jié)合在一起,解決問題的關(guān)鍵是理解流程圖的含義,當(dāng)輸入的數(shù)據(jù)滿足不等式k2-5k+4>0時(shí),輸出結(jié)果“k=5”.
例6 根據(jù)圖(6)所示的程序框圖,將輸出的x,y的值依次分別記為 x1,x2…xn,…,x2008;y1,y2…yn,…,y2008.
(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式xn;
(2)寫出y1,y2,y3,y4,并由此猜想數(shù)列{yn}的通項(xiàng)公式y(tǒng)n,證明你的結(jié)論;
(3)求zn=x1y1+x2y2+…+xnyn(x∈N,n≤2008).
答案 (1) xn=2n-1(n∈N,n≤2008);
(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80;
yn=3n-1(n∈N,n≤2008);
(3)zn=(n-1)3n+1+3-n2 (n∈N,n≤2008).
解析 (1)由題意和框圖知,
數(shù)列{xn}中,x1=1,xn+1=xn+2,
故xn=2n-1(n∈N,n≤2008);
(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80;
猜想yn=3n-1(n∈N*,n≤2008),
證明:由框圖知,數(shù)列{yn}中,yn+1=3yn+2,
即yn+1+1=3(yn+1), 又y1+1=3,
故yn+1+1yn+1=3,
所以數(shù)列{yn+1}是以首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,
故yn+1=3n,
即yn=3n-1 (n∈N,n≤2008).
(3)zn=x1y1+x2y2+…+xnyn=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)=1×3+3×32+…(2n-1)×3n-[1+3+…+(2n-1)]
設(shè)sn=1×3+3×32+…+(2n-1)×3n ①,
則3sn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1 ②,
①-②得
-2sn=3+2×32+…+2×3n-(2n-1)×3n+1
=2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)×3n+1
=23(1-3n)1-3-3-(2n-1)×3n+1
=2(1-n)3n+1-6,
故sn=(n-1)3n+1+3,
而1+3+5+…(2n-1)=n2,
故zn=(n-1)3n+1+3-n2 (n∈N,n≤2008).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查學(xué)生對(duì)流程圖的識(shí)別能力以及數(shù)列中的歸納、猜想、論證等能力,同時(shí)考查通過構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和等重要方法.
三、算法初步的復(fù)習(xí)建議
1.把握算法初步的重點(diǎn)
算法的重點(diǎn)是學(xué)習(xí)程序框圖的基本邏輯結(jié)構(gòu)和語句,應(yīng)著重體會(huì)算法思想,提高邏輯思維能力,在學(xué)習(xí)中要選擇數(shù)學(xué)中具有重要價(jià)值的算法范例,不要在算法的概念、算法的設(shè)計(jì)及一些難且偏的題目上花時(shí)間,應(yīng)加強(qiáng)基礎(chǔ)題訓(xùn)練.
2.始終抓住算法流程圖的關(guān)鍵——變量
算法流程圖要求我們掌握的無非是兩個(gè)方面:一是會(huì)根據(jù)流程圖概括出算法,明白所要解決的問題及解題過程;二是給出問題設(shè)計(jì)出算法解決問題,只要掌握了變量在程序中的作用,就掌握了算法的精華.
3.研究并改編高考算法試題,探求高考命題規(guī)律
關(guān)鍵詞: 算法 算法教學(xué) 高中數(shù)學(xué)教學(xué)
新課程改革后,算法作為重要內(nèi)容被列入高中數(shù)學(xué)的必修課程中。對(duì)于算法,大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師自從大學(xué)畢業(yè)后就沒有直接接觸過,而且這一全新的內(nèi)容與計(jì)算機(jī)語言有著密切的聯(lián)系,是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)。所以它既給一些教師造成了巨大的壓力,成為教師教學(xué)的難點(diǎn),又激發(fā)了一些教師極大的興趣,為教師發(fā)揮創(chuàng)造力和施展個(gè)人特長提供了很好的機(jī)會(huì)。如何進(jìn)行算法教學(xué),教學(xué)中應(yīng)注意哪些方面?這是廣大數(shù)學(xué)教師目前急需解決的問題。本文試結(jié)合我的教學(xué)實(shí)踐和體會(huì)作些探討。
一、深刻理解引入算法初步的必要性。
算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心。隨著社會(huì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步,計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)改變了我們的生活方式,成了人們生活中不可缺少的重要工具。計(jì)算機(jī)工作靠的是程序,而程序的靈魂就是算法。它將人類的思維能力形式化為計(jì)算機(jī)可以執(zhí)行的步驟——程序。因此,算法是計(jì)算機(jī)程序的基礎(chǔ)。沒有算法,計(jì)算機(jī)的存在也就失去了意義。
算法具有廣泛的教育價(jià)值。學(xué)習(xí)算法有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力;有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和實(shí)踐能力;有利于學(xué)生理解構(gòu)造性數(shù)學(xué)。中國古代數(shù)學(xué)以算法為主要特征,形成以構(gòu)造性與機(jī)械化為特征的算法體系,產(chǎn)生了一些特殊的算法流傳至今,并在現(xiàn)代得到了廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)算法對(duì)于繼承和發(fā)展我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué),弘揚(yáng)我國文化,培養(yǎng)學(xué)生愛祖國、愛民族的優(yōu)良品德,都有著十分重要的意義。
二、對(duì)數(shù)學(xué)課程中算法的切入點(diǎn)要把握準(zhǔn)確。
算法和計(jì)算機(jī)語言有著密切的聯(lián)系。算法教學(xué)是程序語言教學(xué)的基礎(chǔ),程序語言教學(xué)是算法教學(xué)必要的延續(xù),兩者相輔相成。如果切入點(diǎn)把握不準(zhǔn)確,一些教師就有可能把算法教學(xué)講成計(jì)算機(jī)語言課。實(shí)際上,在數(shù)學(xué)課程中,算法的教學(xué)更應(yīng)該關(guān)注的是算法對(duì)問題抽象過程和算法的構(gòu)建過程。在這個(gè)過程中,是學(xué)生著重理解算法的“算理”,同時(shí)體會(huì)算法的程序性、明確性、有效性和有限性等特點(diǎn),學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)和描述算法以解決實(shí)際問題和與人交流,發(fā)展有條理的思維和表達(dá)能力,提高邏輯判斷能力。
三、在算法教學(xué)過程中,選取的例子要合理、恰當(dāng)。
1.應(yīng)盡可能選取最簡單、最典型的算法模型作為載體進(jìn)行算法教學(xué)。
因?yàn)樗惴ū旧砭褪桥c具體問題結(jié)合在一起的。空講理論只能導(dǎo)致學(xué)生不能真正理解算法,不會(huì)設(shè)計(jì)具體問題的算法。而從簡單、典型、學(xué)生熟悉的算法模型中挖掘提煉出來的思想和方法更易被學(xué)生接受。例如,在進(jìn)行條件結(jié)構(gòu)的教學(xué)時(shí),可以選取比較基礎(chǔ)且具有代表意義的分段函數(shù)的例子。這樣既能幫助學(xué)生理解條件結(jié)構(gòu)的基本思想,又能幫助學(xué)生更好地掌握分段函數(shù)。
例1:根據(jù)右面的流程圖,說明該算法解決什么問題?寫出相應(yīng)的算法。
解析:該流程圖解決的問題是求函數(shù)y=x-2x?搖?搖x≥2-2?搖?搖?搖 x
算法如下:
S:輸入x
S:如果x
S:輸出y
2.盡量從學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)中選取例子,這樣學(xué)生就易于理解算法的程序化思想。
例如,在講解循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí),可以選擇數(shù)學(xué)必修1中的二分法,便于承前啟后,導(dǎo)入新知識(shí)。
例2:寫出用二分法求方程f(x)=0的近似解的算法并畫出流程圖。
解析:算法步驟如下:
S:確定有解區(qū)間[a,b](f(a)·f(b)
S:取[a,b]的中點(diǎn)
S:計(jì)算f()
S:判斷f()是否為0。如果為0,那么x=就是方程的解,否則執(zhí)行下一步
S:若f(a)·f()
若f(a)·f()>0,則確定新的有解區(qū)間為(a,)
S:判斷新的有解區(qū)間的長度是否小于精確度。如果新的有解區(qū)間的長度小于或等于精確度則取新的有解區(qū)間的中點(diǎn)為方程的近似解,否則在新的有解區(qū)間的基礎(chǔ)上重復(fù)上述步驟。
流程圖:
3.選取的例子要蘊(yùn)含中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想,貼近生活,有一定的趣味性,能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,激發(fā)學(xué)生探究算法知識(shí)的興趣。
例如,在講解算法概念時(shí),可選取我國隋朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中的一個(gè)有趣而且有著深遠(yuǎn)影響的問題——“雞兔同籠”問題。
例3:今有雞兔同籠,上有35頭,下有94足,問雞兔各有幾只?
解析:按照方程的思想,設(shè)有x只雞,y只兔,則x+y=352x+4y=94。
下面設(shè)計(jì)一個(gè)解二元一次方程組的通用算法:
設(shè)二元一次方程組為ax+by=cax+by=c(ab-ab≠0),
用消元法得x=y=,
因此,只需要輸入相應(yīng)的未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),就能計(jì)算出方程組的解,即可輸出x和y的值。上述二元一次方程組的算法如下:
S:輸入a,b,c,a,b,c
S:x=
S:y=
S:輸出x,y
算法除了作為數(shù)學(xué)必修3的教學(xué)內(nèi)容之外,其思想方法也應(yīng)滲透到高中數(shù)學(xué)課程的其他內(nèi)容中。因此,在教學(xué)算法時(shí),還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生今后要盡可能地運(yùn)用算法解決相關(guān)問題,讓程序思想成為我們思考問題的習(xí)慣。
參考文獻(xiàn):
一、算法如何在學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中生長
在必修3中第一章算法是獨(dú)立的一章,看似與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系很少,因此教師在教學(xué)中容易將它孤立起來,機(jī)械地、照本宣科地實(shí)施教學(xué)任務(wù),教完后不會(huì)像函數(shù)、方程、數(shù)列那樣在后續(xù)的教學(xué)中重復(fù)出現(xiàn)。學(xué)生常常是在高一新授課時(shí)利用兩周學(xué)完,在高三復(fù)習(xí)的最后階段做兩套練習(xí),此外就極少再接觸到算法,有些學(xué)生及教師將算法比喻成“雞肋”,食之無味,可有可無。
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》寫到“算法是一個(gè)全新的課題,已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要基礎(chǔ),它在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)發(fā)展中起著越來越重要的作用。算法的思想和初步知識(shí),也正在成為普通公民的常識(shí)。在高中數(shù)學(xué)必修課程中將學(xué)習(xí)算法的基本思想和初步知識(shí),算法思想將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的相關(guān)部分?!庇纱丝梢?,不能孤立地教學(xué)算法,要使學(xué)生將算法的核心思想融入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。結(jié)構(gòu)主義也提出:學(xué)科教育的實(shí)質(zhì)是使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu),建立新知識(shí)和原有知識(shí)之間的聯(lián)系。
二、數(shù)學(xué)的算法如何和信息技術(shù)的算法整合
如何整合數(shù)學(xué)的算法和信息技術(shù)的算法,將兩者有機(jī)地結(jié)合起來,使得算法課既有數(shù)學(xué)味,又不失計(jì)算機(jī)的特色,這是困擾中學(xué)教師的又一個(gè)問題。
《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出:“在本模塊中,學(xué)生將在義務(wù)教育階段初步感受算法思想的基礎(chǔ)上,結(jié)合對(duì)具體數(shù)學(xué)實(shí)例的分析,體驗(yàn)程序框圖在解決問題中的作用;通過模仿、操作、探索,學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問題的過程;體會(huì)算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,發(fā)展有條理的思考與表達(dá)的能力,提高邏輯思維能力?!笨梢姅?shù)學(xué)的算法和信息技術(shù)的算法是不同的。信息技術(shù)的算法即編程,是一項(xiàng)浩大的工程,通常要涉及大量細(xì)碎的技術(shù)問題。數(shù)學(xué)的算法不會(huì)讓學(xué)生過多地糾纏于程序的調(diào)試和實(shí)現(xiàn),而是要讓學(xué)生感受算法的思想,理解算法的“算理”。
當(dāng)然數(shù)學(xué)的算法也不可能完全脫離計(jì)算機(jī)的技術(shù),教學(xué)中也要讓學(xué)生體會(huì)算法的程序性、明確性、有限性等特點(diǎn)。必須幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)計(jì)算機(jī)工作的一些基本原理。
三、算法思想如何自然地在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透
《標(biāo)準(zhǔn)》要求“算法的思想方法應(yīng)滲透在高中數(shù)學(xué)課程其他有關(guān)內(nèi)容中,鼓勵(lì)學(xué)生盡可能地運(yùn)用算法解決相關(guān)問題。”其實(shí)這個(gè)要求不過分,算法對(duì)學(xué)生來說并不陌生。從小學(xué)的四則運(yùn)算所遵循的先乘除、后加減的規(guī)則,括號(hào)的處理規(guī)則,到初中的方程組的解法,高中的二分法求方程的近似解,數(shù)列、遞推數(shù)列求和都是算法的典型體現(xiàn)。幾乎每個(gè)問題的解決都對(duì)應(yīng)一個(gè)算法,高中數(shù)學(xué)的教學(xué)需要讓學(xué)生站在較高的角度解決問題,算法思想的滲透和研究是必要的,這是每位高中數(shù)學(xué)教師都明白的。要學(xué)生很自然地認(rèn)識(shí)到算法思想的重要性,使之成為學(xué)生的一種意識(shí)、一種思想、一種方法、一種工具,這也是教學(xué)過程中的重中之重。
四、突出算理,牢牢把握算法教學(xué)的重點(diǎn)
筆者認(rèn)為首先必須明確算法的教學(xué)重點(diǎn),算法的含義是“對(duì)一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法”,其精髓是算理,算理具有概括性,它指向一類問題,以系列步驟為載體。因此教學(xué)的重點(diǎn)是突出算理,以教科書中提供的案例為載體,體會(huì)算法的基本思想,提高學(xué)生的邏輯思維能力,要防止將算法的教學(xué)變成程序語言和程序設(shè)計(jì)的教學(xué)。
五、注重結(jié)構(gòu),有效突破算法教學(xué)的難點(diǎn)
發(fā)酵過程中,由于是好氧發(fā)酵培養(yǎng),菌體的生長和代謝需要一定量的氧氣,這個(gè)時(shí)候發(fā)酵培養(yǎng)液中溶解氧的多少直接影響了菌體的代謝和生長。生產(chǎn)的不同階段,菌體的生長和代謝在不同時(shí)間具有非常明顯的差異,對(duì)氧氣的需求量也有著很大不同。其中影響溶解氧的因素很多,包括通氣量、攪拌轉(zhuǎn)速、溫度、壓力等。本文僅通過對(duì)發(fā)酵生產(chǎn)過程溶氧的測(cè)定,初步確定了赤霉酸發(fā)酵過程分階段控制的較適無菌空氣通氣量,在生產(chǎn)過程中應(yīng)用后有效節(jié)約了大量無菌空氣的輸出,減少了電能的消耗。
1材料和方法
1.1試驗(yàn)設(shè)備
60m3通用式發(fā)酵罐。外盤管加六組內(nèi)蛇管換熱器,攪拌底層為六平葉渦輪攪拌,上三層為四寬葉葉輪漿攪拌。轉(zhuǎn)速160r/min,功率155kW,電流140A。孔板流量計(jì),溶氧電極。
1.2發(fā)酵培養(yǎng)
種子液經(jīng)過二級(jí)發(fā)酵擴(kuò)大培養(yǎng)好接入60m3發(fā)酵罐進(jìn)行發(fā)酵培養(yǎng)。接后體積控制在45m3,培養(yǎng)溫度28℃,攪拌轉(zhuǎn)速160r/min,罐壓0.025MPa~0.03MPa,通氣量按對(duì)照42m3/min進(jìn)行試驗(yàn)考查溶解氧的變化情況。
溫度、DO值由微機(jī)在線收集。
1.3分析測(cè)試方法
溶氧:通過溶氧電極由計(jì)算機(jī)在線收集檢測(cè)
通氣量:通過孔板流量計(jì)由計(jì)算機(jī)在線收集檢測(cè)。
2結(jié)果與分析
2.1發(fā)酵過程中DO變化規(guī)律
赤霉素發(fā)酵過程分3個(gè)階段:
前期:菌體的對(duì)數(shù)生長期,菌體大量繁殖。
中期:菌體繁殖和衰亡保持平衡,合成大量赤霉素。
后期:菌體代謝減慢直至大量衰亡,合成赤霉素逐步減少。
根據(jù)發(fā)酵培養(yǎng)條件進(jìn)行發(fā)酵培養(yǎng),收集過程中DO值如下:
接種后,隨著菌絲的不斷生長繁殖,DO值逐漸下降,在80h左右達(dá)到最低值15%的最低點(diǎn),然后逐漸緩慢回升。在每次補(bǔ)料和補(bǔ)糖時(shí)出現(xiàn)一個(gè)較低谷;
由圖1可以看出,發(fā)酵過程中DO變化如以下特點(diǎn):
1)0h~20h,因菌絲總量較少,呼吸強(qiáng)度低,DO仍在70%以上的相對(duì)較高水平;
2)20h~40h,菌絲進(jìn)一步繁殖并接近基本濃度,菌體代謝旺盛,且此期間第一次補(bǔ)料,DO急速下降到50%左右;
3)40h~120h,菌體達(dá)到并維持基本濃度,代謝旺盛,DO處在發(fā)酵全程最低段;
4)120h~放罐前12h,代謝有所減弱,DO逐漸升高到80%以上;
5)放罐前,菌絲鏡檢變細(xì)變短,染色后著色淺,效價(jià)增長減緩,菌濃有所下降。
2.2 發(fā)酵過程中最適DO濃度及通氣量的選擇
由于發(fā)酵過程中攪拌轉(zhuǎn)速是恒定的,所以DO的變化主要與通氣量有關(guān)。根據(jù)DO變化曲線,我們選擇將最低DO控制從上表可以看出:將DO控制在30%以上時(shí),放罐效價(jià)略低,但發(fā)酵總億和發(fā)酵指數(shù)略有提高。綜合經(jīng)濟(jì)效益考慮,流量分階段控制標(biāo)準(zhǔn)如下:
經(jīng)過30罐披發(fā)酵驗(yàn)證和綜合設(shè)計(jì),在放罐效價(jià)相當(dāng)(99%)的情況下,放罐體積較對(duì)照增加約1.9m3,有效提高了設(shè)備的裝料系數(shù),大大節(jié)約了電力消耗。