幾何的教育價值分析
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如果說,數(shù)學是各國中小學課程中最為統(tǒng)一的一門學科的話,那么,幾何就是其中最不統(tǒng)一的一部分,其原因就在于幾何的多樣性。幾何的多樣性首先反映在它的特征上,其中包括作為空間科學的幾何;作為概念和過程的直觀表示的幾何;作為數(shù)學理論與數(shù)學模型源泉的結合點的幾何;作為思維和理解的一種途徑的幾何;作為演繹推理教學范例的幾何;作為應用的工具的幾何等。其次反映在它的活動方式上。幾何活動一般涉及三種認知過程:視覺、構造、推理,每一種過程通常又涉及多個方面,如從視覺上看,有維度上的不同,結構上的差異,背景上的區(qū)分,位置上的變化;從構造上看,有實驗性的操作,直觀的構造,概念的形成,理論的構建;從推理上看,包括直覺的推理,歸納的推理,非嚴格的自然推理,嚴密的演繹推理。正因為如此,幾何既可以作為不同水平的創(chuàng)造活動的源泉,也可以成為訓練各種推理能力的場所;既可以作為日常生活中所必需的基礎知識,也可以成為解決各種問題的工具。此外還反映在課程處理的途徑上。從認知過程看,有操作的、直覺的、演繹的或者分析的幾何;從課程結構上看,有靜止的與動態(tài)的幾何;從課程形式上看,又可以分為實驗幾何、歐氏幾何、仿射幾何、解析幾何、拓撲幾何、非歐幾何等。幾何的多樣性帶來了幾何眾多的教育價值。從各國的研究情況看,幾何的教育價值主要表現(xiàn)在以下幾個方面。
1.幾何有利于形成科學世界觀和理性精神現(xiàn)代社會的一個顯著特征是,科學已經成為社會的一個直接的生產力。因此,學校教育的一個重要方面是讓學生熟悉如何構造科學理論的一個具體實例,熟悉科學的方法。在這點上,作為世界文明史上的一個科學系統(tǒng),幾何是極好的模型,因為幾何從簡單而清楚的基礎出發(fā),運用推理的方法(以若干明顯的步驟),有順序地導出一系列重要的推斷,這些推斷不僅有著廣泛的應用領域,而且使人在這變幻莫測的世界上體驗到數(shù)學的確定性。正如愛因斯坦所說:“世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇跡。這個邏輯體系如此精密地一步一步推進,以致它的每一個命題都是絕對不容置疑的——我這里說的是歐幾里德幾何。推理的這種可贊嘆的勝利,使人類的理智獲得了取得以后成就所必需的信心。”因此,學校中的幾何教學有助于學生科學世界觀的形成。俄羅斯(包括東歐的一些國家)的幾何課程就比較重視這一點。相比之下,西方所追求的理性精神則具有更為廣泛的意義,它不僅包括方法論的成分(如科學的世界觀),也包括情感方面的因素(如科學的態(tài)度)。但即便如此,幾何也仍然是一個很好素材。而且,這種意義上的拓廣也有利于擺脫歐氏邏輯體系和演繹推理(特別是傳統(tǒng)三段論)的框框。
2.幾何有助于培養(yǎng)良好的思維習慣波利亞說過,數(shù)學教育的意義并不是要教會學生去使用數(shù)學知識,而是要培養(yǎng)學生的思維習慣,一種數(shù)學文化修養(yǎng)。從這層意義上講,幾何是一種有效的訓練手段。幾何材料具有深刻的邏輯結構、豐富的直觀背景和鮮明的認知層次。通過幾何的學習可以使學生學會利用不同途徑去解決問題,對幾何結果形成合理的猜想,對數(shù)量結論進行快速的估計,為解決具體問題提供直觀的模型,進而養(yǎng)成推理嚴謹、言必有據和條理化的思維習慣。
3.幾何有助于發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力這一點,在歐氏幾何兩千多年的歷史中已經得到了充分的肯定。正如英國學者費克爾(D.S.Fielker)所說:“歐幾里德的那些定理之所以重要,不是因為它是有用的,能夠應用的或它們本身的價值,而是因為他們是演繹推理系統(tǒng)的自然發(fā)展的一部分。”當然,對于歐氏幾何在發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力中的作用,我們還是應該辨證地看待。首先,幾何在培養(yǎng)邏輯思維和演繹推理能力方面仍有著重要的作用,這是毫無疑問的。因為幾何要求對思維進行系統(tǒng)的、較為嚴格的訓練,這有利于對演繹推理有較深入的理解。當學生掌握了定義的作用并且學習只運用這些定義而不運用他的直覺知識時(這些知識常常凌駕于具有定義所呈現(xiàn)的性質的對象上),當他不得不謹慎地區(qū)分直覺的途徑、直覺的真實性和證據與推理的方法時,他就開始理解什么是論證。正是在幾何中(而不是在代數(shù)中)產生的這種直覺和形式化的十分特殊的聯(lián)系,使得幾何仍然成為啟發(fā)邏輯思維和培養(yǎng)演繹推理能力的最有效的途徑。也正是因為這個緣故,幾何不能被當作一個完全成熟的精確模型,而應該作為一種訓練工具,使學生通過訓練掌握邏輯思維和演繹推理的基本方法:如發(fā)現(xiàn)解決問題的“好”的策略;從特殊情形探索出一般結果;尋找命題的不同證明;逐步地形成理論等等。其次,在初級階段,幾何作為一種訓練邏輯思維與演繹推理的工具,有它的長處,它的內容的直觀性、難度的層次性、真假的實驗性以及推理過程的可預見性,使它成為訓練邏輯思維與演繹推理的理想材料。但是,從本質上來說,邏輯思維與演繹推理不能依賴于直觀和直覺,因此,要使學生的邏輯思維水平達到較高層次,純符號推理的代數(shù)證明應該引起足夠的重視。此外,歐氏綜合幾何也不能被認為是中學中演繹方法的嚴謹?shù)暮瓦壿嫷奈┮荒Ｐ汀Ｒ延幸恍W者提出用邏輯學或數(shù)學的其他材料(如組合數(shù)學等)來代替幾何的教育功能,但ICMI的研究表明,到目前為止,還缺乏令人信服的證據和成功的實驗。而相比之下,幾何材料則經歷了上千年的千錘百煉。
4.幾何是一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實空間的工具按照ICMI的觀點,“幾何作為一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實空間的工具,也許是數(shù)學中最直觀、具體和真實的部分”。當數(shù)學的其他分支經過多次的現(xiàn)代處理而漸漸遠離其生活源泉的時候,幾何(特別是歐氏綜合幾何)仍保持著與現(xiàn)實空間的直接的豐富的聯(lián)系。事實上,初等歐氏幾何本身就是對現(xiàn)實空間質樸地加以數(shù)學化和直接應用的結果。幾何中幾乎所有概念都是在對物理空間的具體概念進行組織的過程中發(fā)展起來的。這種局部組織對人類的日常活動仍有重要的意義。學生在他的一生中將面對具體的對象、具體的關系、具體的變換,它們可以分別形象地表現(xiàn)為幾何的對象、幾何的關系、幾何的變換。通過這種生動的類比,學生能夠建立實際情況的幾何模型,從而用概括化的數(shù)學方法去解決問題。
5.幾何能為各種水平的創(chuàng)造活動提供豐富的素材首先,幾何能夠為學生的個體活動提供豐富多采的問題和練習。可以說,沒有哪一門學科的練習題能像幾何習題這樣,從教育性和科學性兩方面都經過了千錘百煉,從而形成了許多突出的優(yōu)點,如幾何題的綜合性便于學生在研究時能夠借助于觀察、實驗、類比、直覺和推理等多種手段;幾何題的層次性使得不同能力水平的學生都能從中得到益處;幾何題的啟發(fā)性可以使學生建立廣泛的聯(lián)系,并把幾何應用于更多的領域;而幾何題的系統(tǒng)化則有利于學生長期地有計劃地進行訓練。其次,幾何活動常常包含創(chuàng)造活動的各個方面,從構造猜想、表述假設、提供證明、發(fā)現(xiàn)特例和反例,到最后形成理論,這些過程在各種水平的幾何活動中都可以被發(fā)現(xiàn)。許多數(shù)學家都認為,雖然古典幾何作為一門學科來說已經死亡,但各種水平的幾何活動仍然是創(chuàng)造力的取之不盡的源泉。此外,創(chuàng)造活動的一個重要因素就是直覺。一方面幾何直覺在數(shù)學活動中常常起著關鍵的作用,代數(shù)的分析中出現(xiàn)的眾多的幾何術語表明:在某種意義上,幾何的直覺已經滲透到一切數(shù)學領域中,甚至在那些看來幾何是無所作為的領域內,幾何直覺仍然保持有強盛的生命力,其原因就在于幾何直覺所能啟示的東西是重要的,可接近的和有趣的,并且可以警告我們不致在問題、思想和方法的廣闊沙漠中迷失方向。另一方面,隨著計算機的普及,幾何語言(如圖形、表格、圖像等)已經成為日常生活中一種重要工具,從而也為幾何直覺在其他領域的廣泛遷移提供了條件。正因為如此,弗賴登塔爾認為:“把這種從學生在物理空間的具體活動通過抽象、繪圖、作出模型的有限步驟達到幾何直覺的最高階段的道路清楚地描繪出來是有巨大的教育學方面的好處的。可以肯定的是:道路是存在的,并且?guī)缀谓虒W的目標之一應該是按照使之成為學生數(shù)學思維的一種有效工具的道路,延長或改造原始的空間直覺”。
6.幾何可以作為各種抽象數(shù)學結構的模型過去100年的數(shù)學史表明,今天的幾何既是線性代數(shù)的源泉也是其應用的領域。不僅如此,許多重要的數(shù)學理論(如希爾伯特空間,拓撲學,測度論,群論,格論,微分幾何和代數(shù)幾何等)都可以通過幾何的途徑以自然的方式組織起來,或者從幾何模型中抽象出來。這些理論中的每一種都有它本身的幾何面貌,盡管它們中沒有一種在幾何面貌中是完善的。這就是為什么術語“幾何的”被更多地應用于問題情景和模型而不是應用于理論的原因。通過幾何的學習,一方面可以發(fā)展學生的提煉了的直覺,另一方面也能發(fā)展他們的更形式的思維方法,為進一步的數(shù)學學習,理解更為抽象的數(shù)學概念作好準備。毫無疑問,幾何的這些教育價值是其立足中小學課程之根本,但同時,也正因為它有著眾多的教育價值,而給幾何課程目標的確定帶來一定的困難。
二、制訂幾何課程目標的基本原則
課程目標既是確定課程內容的準則,也是選擇課程方法的依據,同時也是評價和評估的基礎。因此,確定幾何課程的目標體系是幾何課程改革的關鍵。在具體設計幾何的課程目標時,應遵循以下幾條原則。
1.幾何的課程目標必須體現(xiàn)幾何的教育價值
根據現(xiàn)代數(shù)學課程理論,幾何課程目標的設計應考慮社會、文化、教育和數(shù)學學科幾個方面的因素,并在各種因素之間尋找一個平衡點。但筆者以為,平衡不等于平均。從幾何的特點來看,我們必須在兼顧其他因素的前提下有所側重,其側重點就是幾何的教育價值。千百年來,幾何課程雖歷經風雨,卻仍然生機勃勃的一個根本原因就在于它有著重要的教育價值,正如法國路易斯•巴斯德大學的名譽教授喬治•格萊斯爾(GeorgesGlaeser)所說:“幾何的科學只有當它被看作一種教育的工具時,才呈現(xiàn)出它全部的重要性。”
2.幾何的課程目標必須服從于總的教育目標
教育是一個系統(tǒng)工程,幾何作為中小學教育體系中數(shù)學學科的一個分支,自然不能孤立地去考察其課程目標。一般講,幾何的課程目標涉及下面三個層次。第一個層次是所有課程都必須承擔的共同的教育任務。在這方面,目前已有許多重要的論述,如國際21世紀教育委員會在報告《學習——內在的財富》中提出的教育的四個支柱:學會認知,學會做事,學會共同生活,以及學會生存。再如美國卡內基教學促進基金會前任主席厄爾斯特•波伊爾在《基礎學校——一個學習化的社區(qū)大家庭》中提出了教育必須“致力于品格的塑造”的觀點,以及品格的七個主要方面:“誠實、尊重、負責、同情、自律、堅韌、奉獻”,并學會“有理想地生活”等。這些內容構成了公民素質中的基礎部分,也體現(xiàn)了“以人為本”的現(xiàn)代教育思想。因此,它們處于目標體系的最高層次。第二個層次是數(shù)學教育在整個教育體系中所承擔的特殊的任務,這些任務是由數(shù)學學科本身的特點所決定的,它們構成了公民素質中的特殊的、然而是必不可少的部分,這也是數(shù)學學科賴以生存之根本。在世界各國的教育體制中,數(shù)學和語言(包括母語和外語)通常都構成了基礎教育的核心課程,但是很顯然,數(shù)學和語言無論在學科性質、理論體系、學習方法及教育價值等方面都有很大的區(qū)別。數(shù)學在教育體系中的任務是幫助學生形成科學的世界觀,養(yǎng)成良好的思維習慣,發(fā)展邏輯思維和演繹推理能力,運用數(shù)學解決問題等,這些都是語言(包括其他學科)所無法替代的。第三個層次是幾何課程在數(shù)學教育中所承擔的特殊任務。數(shù)學學科在選擇課程內容時有三個依據:一是教育性,二是基礎性,三是實用性。與數(shù)學的其他分支相比,在這三點上,幾何課程有其自己的特色。首先,從教育性上,幾何的突出的優(yōu)勢在于它有著眾多的教育價值。其次,雖然就理論體系來說,傳統(tǒng)的綜合幾何已經被排除在現(xiàn)代數(shù)學的基礎之外,但卻構成了另一種更為重要的、方法論意義上的基礎:幾何概念為抽象的數(shù)學結構提供直觀的模型,幾何方法在所有數(shù)學領域內都有廣泛的作用,幾何直覺是數(shù)學理解和問題解決的重要工具,幾何的公理系統(tǒng)是組織科學體系的典范。此外,幾何的實用性也并非表現(xiàn)在它的知識的直接應用上。的確,很少有學生在日后的生活中會運用勾股定理、計算三角形面積、證明兩直線平行,但是,從幾何中得到的空間感、幾何直覺和思維習慣則能使每一個人終身受益。上述三個層次的目標不是相互分離的,而具有辨證的關系。一方面,幾何的教學目標必須從屬于數(shù)學的教育目標,而數(shù)學的教育目標又必須從屬于基礎教育階段總的教育目標;另一方面,一般的教育目標往往也必須融入到特殊的教育目標中去,并由此得以實現(xiàn),這樣就形成了一個完整的、有機的目標體系。
3.幾何課程目標必須有適當?shù)膮^(qū)分
按照大眾數(shù)學的觀點,數(shù)學課程應該滿足不同學生的不同需求,并使得所有人都能夠從數(shù)學教育中得到最大的益處。做到這一點的關鍵是教育的區(qū)分化。教育的區(qū)分化通常也有三個層次:第一是大綱的區(qū)分(即課程標準上的區(qū)分),第二是教材的區(qū)分(即一綱多本),第三是教學的區(qū)分(即課堂教學中的因材施教)。我國的教學實踐和國外的先進經驗都表明,要想真正做到教育的區(qū)分化,就必須從課程標準上進行區(qū)分。也就是說,必須根據學生的不同需求、不同能力、不同文化傳統(tǒng)和環(huán)境來制訂不同水平的課程目標。教育區(qū)分化的另一層含義就是在制訂總的課程目標的同時,還應該有階段上的區(qū)分。也就是說,課程目標的實施不可能是一步到位的,而是一個逐步遞進、不斷完善的過程。
4.幾何課程目標必須以興趣為基礎
數(shù)學歷來被看作是一門難學難教的科目,因此,在數(shù)學教育領域內,學習的動機,特別是興趣,是一個關鍵的因素。過去,人們僅僅把興趣作為實現(xiàn)課程目標的條件和途徑,這是不夠的,興趣還應該成為課程目標的一個組成部分。這里至少有兩個理由:首先,按照人本主義心理學的觀點,教育的最高目的是培養(yǎng)自我實現(xiàn)的人,而一個自我實現(xiàn)的人應該有廣泛的興趣。幾何既然作為基礎教育中的一門重要課程,那么,培養(yǎng)學生對幾何的興趣也應該是幾何教學的一個重要任務。其次,成功的教育以興趣為先導,但人的興趣并不是天生的,興趣的培養(yǎng)和激發(fā)既需要一定的過程,也需要一定的情景和機會。數(shù)學史中有豐富的例子可以說明,幾何是數(shù)學興趣的一個主要的激發(fā)點。
5.幾何課程目標必須照顧到民族特點
每一個民族都有自己的特點,有優(yōu)勢也有不足,教育的任務就是要取長補短。這一點在各國的課程設計中都有所反映,如德國的幾何課程特別重視創(chuàng)造能力的培養(yǎng);俄羅斯的幾何課程側重于科學世界觀的形成;日本的幾何比較強調邏輯思維;美國的課程標準則更注重學生的幾何活動等等。因此,我國的數(shù)學教育改革在借鑒國外先進經驗的同時,同樣也應該具有自己的特點;在發(fā)揮民族優(yōu)勢的同時,也應該注意彌補傳統(tǒng)的不足。從這個角度看,在制訂幾何教學目標時,必須考慮以下兩點。第一個是我們民族的刻苦好學精神和以家庭為中心的活動方式。雖然我們不再提倡“發(fā)懸梁,錐刺股”的苦行僧精神,但也不能像西方的一些做法那樣,把學習蛻化為一種純粹的娛樂活動。特別是幾何這樣一門學科,往往要經過嚴格的訓練,有時這種訓練甚至是枯燥的,因此需要更多的吃苦耐勞精神。多年來,我國的幾何教育在國際上始終保持較高的水平就是一個很好的例證。西方個性化教育發(fā)展了學生的創(chuàng)造能力,但導致了基礎教育水平的低下,這也是一個不爭的事實。第二個是民族的弱點。日本東京學藝大學教育學部教授衫山吉茂在其名著《建立在公理方法上的中小學數(shù)學學習指導》中就特別強調幾何的這種教育價值。他認為,東方人缺乏從具體事物中抽出原理的體系,進行體系化、抽象化的精神和建立假說進行演繹的思維方式,而數(shù)學思想,特別是公理化思想則能起到很好的彌補作用。如果我們認同這種觀點的話,那么,毫無疑問,幾何課程由于其特有的演繹風格、明確的概念結構、邏輯的理論體系而應該在這方面擔負起特殊的任務。
三、幾何課程目標體系的初步設想
在具體設計我國21世紀中小學幾何課程目標之前,還有以下兩個問題需要考慮。首先是處理方式問題。在設計幾何課程目標時,目前大體上有兩種風格:一種是“大綱”風格,一種是“標準”風格。前者的特點是:首先給出幾何教學的能力目標,然后以知識點為線索對能力目標進行細化和落實;后者則以數(shù)學活動為線索,把知識目標和能力目標分別劃分為若干個水平。應該說,兩者各有長短,我們要做的就是取長補短。其次是水平劃分問題。在這方面,目前比較流行的理論主要是范希爾(vanHiele)理論和SOLO理論。其中,范希爾在格式塔心理學和皮亞杰發(fā)生認識論的基礎上,從整體上把幾何思維分為認識、分析、序列、演繹、嚴密5種水平,并提出了相應的教學策略。而SOLO(StructureoftheObservedLearningOutcome)理論則進一步解釋了學生個體在幾何方面的理解,它首先定義了5個模式:感覺、想象、具體符號、形式、后形式,用來描述相應的思維的類型,然后再利用水平的劃分對模式進行定性的分析。根據這兩個理論,參考各國的先進經驗,并結合上面的一些論述,筆者認為,為了更好地融合知識目標和能力目標,更準確地劃分各種水平,就應該從以往的線性的目標體系,轉變?yōu)榱Ⅲw的目標體系。為此,筆者設計了下面的三維模型(見圖)。當然,模型僅僅給出了幾何課程目標的基本框架,在具體操作時還必須考慮下面幾個問題。
首先是目標的細化。在模型中,每個維度都有5個一級目標,由此產生125個二級子目標,而這些子目標往往又有其具體的含義,或者包含若干特殊的方面,如“圖形”“表示”在“直觀”水平的含義一般指對圖形的各種畫法(平面圖、直觀圖、透視圖等)的整體的認識;而“概念”“推理”在“演繹”水平上則體現(xiàn)為對概念邏輯體系的把握等等。
其次是年級的區(qū)分。世界各國在年級的區(qū)分上通常有兩種做法。一種是按每個年級進行區(qū)分,如我國的大綱、德國的標準等。另一種是按學段進行區(qū)分,如美國2000年標準草案就劃分為:學齡前～2年級;3～5年級;6～8年級;9～12年級四個學段。筆者比較贊成后一種做法,因為從心理學角度看,兒童認知水平的發(fā)展雖然有一定的階段性,但卻沒有清晰的、一致的界線;而且國外的實踐也證明,按學段進行區(qū)分,既有利于課程的操作,也有利于教學的調整。此外是案例的說明。這是課程目標體系的一個有機的組成部分,適當?shù)陌咐仁菍φn程目標的進一步刻畫,也有利于教學中對目標的準確把握和落實。最后是教學的措施。范希爾和SOLO理論的一個突出的優(yōu)點是將目標層次和教學措施結合在一起,從而進一步明確了在某個特殊層次內的教學特點,以及從一個層次過渡到另一個層次所必須具備的條件和相應的教學途徑,這樣就形成了一個“目標為教學導向,教學為目標服務”的良好機制。
幾何就像一面多棱鏡,每一面都能折射出不同的光芒,可以滿足不同人的不同需求,但也難以找到一個共同的核心。對此,國際數(shù)學教育委員會(ICMI)在其1998年的研究叢書的前言中指出:“在制訂中學幾何課程時,我們必須作出選擇。歷史上的各種課程試驗,往往由于偏重于某個特征而忽略了其他特征,至今沒有一個成功的例子。特別的經驗表明,不可能跳過早期的直覺的階段,而把幾何教學局限于形式的、代數(shù)的特征。當然,另一方面也沒有理由忽視形式的幾何,它曾經,今天仍然,今后也將是嚴格演繹推理的模型。同樣,也不能忽視它的代數(shù)特征,從根本上看,它是進一步學習的最有效的途徑。關鍵是找到平衡點,但不可能是單一的途徑。”有所側重但尋找平衡,這正是筆者寫作此文的出發(fā)點。
