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摘要:高等數(shù)學(xué)思想與初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽思想分別體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的數(shù)學(xué)本質(zhì)。將兩者融合應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，有利于教師在高觀點(diǎn)下指導(dǎo)完善數(shù)學(xué)教學(xué)模式和策略從而提高教學(xué)質(zhì)量，有利于教師教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變從而在融合應(yīng)用中提升自身數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)。對(duì)學(xué)生而言，高階思維的指導(dǎo)有利于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情的高漲、個(gè)性品質(zhì)與能力的提升。本文探究了高等數(shù)學(xué)思想和初等競(jìng)賽數(shù)學(xué)思想的契合之處，析出融合的數(shù)學(xué)思想，并通過(guò)教學(xué)實(shí)踐提出教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思想;高等數(shù)學(xué);初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽;中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);教師素養(yǎng)

0引言

長(zhǎng)期以來(lái)，中國(guó)選手在國(guó)際上的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的實(shí)力有目共睹。但在第11屆羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽（RMM）中，中國(guó)隊(duì)卻無(wú)一人奪得金牌，然而在獲得金牌的選手中不乏華裔選手的身影，這一現(xiàn)象不禁引起我們對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的思考。新課改的深入對(duì)師生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高要求，但畢業(yè)升入大學(xué)后，卻發(fā)現(xiàn)這批大學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)普遍不高，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在專業(yè)課的學(xué)習(xí)上略顯吃力，中學(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)感性思維已達(dá)不到高等數(shù)學(xué)的理性分析要求。因此，在高觀點(diǎn)下指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)以發(fā)散學(xué)生思維并提升師生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是有必要的。

1高等數(shù)學(xué)思想與初等競(jìng)賽數(shù)學(xué)思想的融合

數(shù)學(xué)思想不僅僅是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，也不僅僅是展現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在價(jià)值和意義的載體，更是一種思維模式，是思考的過(guò)程。數(shù)學(xué)思想的滲透是潛移默化的，只要掌握了數(shù)學(xué)思想，即使忘記了在數(shù)學(xué)課堂上老師教授的相關(guān)問(wèn)題的具體情境和解題步驟，也不會(huì)阻礙我們思考解決實(shí)際問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)思想本無(wú)明顯的分界，因數(shù)學(xué)內(nèi)容的深度、廣度、難度可以包羅萬(wàn)象，為了使思想方法能為各個(gè)階段的人的思維能力所接受，將其進(jìn)行細(xì)致劃分為各個(gè)階段的數(shù)學(xué)。因此，各個(gè)階段的數(shù)學(xué)思想的融合能展示出最完整的數(shù)學(xué)本質(zhì)。高等數(shù)學(xué)思想和初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽思想同為初等數(shù)學(xué)思想的進(jìn)階，初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽思想介于高等數(shù)學(xué)思想和初等數(shù)學(xué)思想之間，能更好的為中學(xué)生思維的培養(yǎng)、知識(shí)的拓展、視野的拓寬而服務(wù)。高等數(shù)學(xué)的部分內(nèi)容貌似深?yuàn)W，實(shí)則可用初等數(shù)學(xué)來(lái)解決。初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽多是以高等數(shù)學(xué)為背景，用初等數(shù)學(xué)解法來(lái)解決，很少用到高等數(shù)學(xué)中的高深的理論，卻可以借鑒高等數(shù)學(xué)的解題思維和思考方式。在目前的高中數(shù)學(xué)教材中，許多知識(shí)內(nèi)容已經(jīng)達(dá)到了競(jìng)賽甚至高等數(shù)學(xué)的水平，只是在內(nèi)容呈現(xiàn)上更加簡(jiǎn)明，要求掌握的程度相對(duì)偏低。但不可否認(rèn)的是，高等數(shù)學(xué)“初等化”、數(shù)學(xué)競(jìng)賽普及化已逐漸在滲透。以高等數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)競(jìng)賽思想指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)，在一定程度上增強(qiáng)了師生的自信心，同時(shí)還能發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造新的思想方法，逐步提升創(chuàng)新意識(shí)。在應(yīng)用融合思想的過(guò)程中，還能拓寬學(xué)生的思維，從而找到更有效的解決問(wèn)題的途徑，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)習(xí)融合的數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，形成知識(shí)體系，更準(zhǔn)確把握知識(shí)的本質(zhì)和精髓，從而更容易掌握知識(shí)。在各類創(chuàng)新情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)取之生活，用于生活，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，從而激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的熱情和興趣。而教師在學(xué)習(xí)過(guò)高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)、內(nèi)容、思想、方法等將有更深刻的認(rèn)識(shí)，教學(xué)起來(lái)便也得心應(yīng)手，能夠引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)之奧秘，感受數(shù)學(xué)之美，學(xué)生興趣濃厚了，教師的自豪感和成就感也就增加了，工作熱情自然便能提高了。在挖掘高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，教師勢(shì)必轉(zhuǎn)變已有的傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行積極學(xué)習(xí)和研究，通過(guò)教學(xué)實(shí)踐提升自身數(shù)學(xué)教學(xué)素養(yǎng)。本文把高等數(shù)學(xué)思想與初等競(jìng)賽數(shù)學(xué)思想的融合之處簡(jiǎn)稱為融合的數(shù)學(xué)思想。將融合的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要教師擁有良好的專業(yè)素養(yǎng)，需要教師對(duì)數(shù)學(xué)思想有深刻的把握和理解，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)透徹掌握并能靈活運(yùn)用，才能將思想轉(zhuǎn)化為教學(xué)能量輸送給學(xué)生。因此這樣一個(gè)探索教學(xué)的過(guò)程，也是教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的過(guò)程。而對(duì)于學(xué)生而言，對(duì)數(shù)學(xué)思想的消化吸收不僅利于靈活解題，也是對(duì)思維的創(chuàng)新訓(xùn)練。

2融合的數(shù)學(xué)思想在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2.1聯(lián)想的思想

聯(lián)想的思想在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常用到。關(guān)于聯(lián)想的數(shù)學(xué)思維在波利亞的《怎樣解題》一書中有很好的體現(xiàn)。在波利亞的解題表中，第二步便是通過(guò)聯(lián)想的手段來(lái)制訂方案。聯(lián)想可以是未知與已知的聯(lián)想，特殊與一般的聯(lián)想，數(shù)與形的聯(lián)想等等。聯(lián)想是一種思維活動(dòng)，也是一種心理活動(dòng)，是求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維途徑。

2.2數(shù)學(xué)抽象思想

在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)抽象思想多體現(xiàn)于概念教學(xué)，數(shù)與形的教學(xué)，數(shù)量關(guān)系之中。概念教學(xué)比如函數(shù)的概念、集合的概念、復(fù)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的概念等，這些數(shù)學(xué)概念都是抽象的。而函數(shù)往往要結(jié)合圖象來(lái)理解或分析，這就將函數(shù)抽象成數(shù)學(xué)圖象這一直觀語(yǔ)言來(lái)研究。在實(shí)際問(wèn)題情境中，往往存在許多數(shù)量關(guān)系，要通過(guò)字母、數(shù)字建立方程、不等式模型，從而將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)抽象思想時(shí)，首先要從具體問(wèn)題出發(fā)，由具體的形式抽象出數(shù)學(xué)的概念、定理等，比如通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析抽象出函數(shù)的概念。其次，在教學(xué)中要注意將抽象問(wèn)題具體化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將抽象與形象相結(jié)合，比如將函數(shù)的單調(diào)性、周期性與圖象相結(jié)合。再次，注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力以及歸納類比能力，這樣才能通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)或類比發(fā)現(xiàn)規(guī)律、特征，從而抽象出數(shù)學(xué)內(nèi)容，比如觀察圖形數(shù)量變化規(guī)律找到圖形數(shù)量與序數(shù)之間的關(guān)系，實(shí)際上是將數(shù)量規(guī)律抽象成數(shù)列這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言。最后，將抽象思想與數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，共同促進(jìn)教學(xué)。初中階段，學(xué)生往往對(duì)抽象的概念茫然不知所措，總是用死記硬背的方式記住概念，比如函數(shù)，大多數(shù)學(xué)生甚至說(shuō)不出函數(shù)是什么。函數(shù)的概念是浙教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材的第五章內(nèi)容，明確指出了函數(shù)的概念。函數(shù)的概念是抽象的，在教學(xué)中應(yīng)與具體的實(shí)例聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生逐步養(yǎng)成用辯證思維來(lái)理解抽象的概念。初中生對(duì)函數(shù)這一抽象概念的理解是需要時(shí)間沉淀和經(jīng)驗(yàn)積累的。在函數(shù)概念的教學(xué)中，應(yīng)將重點(diǎn)放在概念形成的過(guò)程上，原因在于，函數(shù)的本質(zhì)是對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)生通過(guò)實(shí)例總結(jié)歸納出各個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系正是把握函數(shù)實(shí)質(zhì)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)思想形成的過(guò)程。于教師而言，只有經(jīng)歷了高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的洗禮，才能看透初等數(shù)學(xué)中這些概念的本質(zhì)，才能引領(lǐng)學(xué)生少走彎路。數(shù)學(xué)抽象思想的形成是由感性到理性的深入過(guò)程，是不斷內(nèi)化感悟的產(chǎn)物，不可能一蹴而就，而是在長(zhǎng)期的積累沉淀中實(shí)現(xiàn)的。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)遵循循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)好教學(xué)活動(dòng)，深化抽象思想。

2.3極限思想

極限思想指的是用極限的定義或概念來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西提出利用極限定義微積分，用和的極限來(lái)表示定積分。數(shù)學(xué)中的另一分支級(jí)數(shù)理論也以極限思想為基本工具研究函數(shù)。極限思想在大學(xué)數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位，在數(shù)學(xué)分析教材中以數(shù)列極限、函數(shù)極限兩個(gè)章節(jié)來(lái)介紹極限的定義，并以微積分、級(jí)數(shù)章節(jié)來(lái)應(yīng)用極限思想。而在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，極限思想也有廣泛的應(yīng)用。極限思想在小學(xué)階段便有滲透，比如在人教版小學(xué)六年級(jí)教材中，求解0.9。此階段的小學(xué)生便對(duì)極限思想有了一定的體會(huì)，即“無(wú)窮”、“無(wú)限接近”的體會(huì)。又如圓的概念教學(xué)中，將圓分割成正多邊形，當(dāng)邊數(shù)無(wú)窮多時(shí)，便近似為圓。中學(xué)階段利用極限思想解決問(wèn)題的應(yīng)用較為普遍，比如在研究圓錐曲線時(shí)，離不開對(duì)漸近線的研究。學(xué)生普遍通過(guò)記公式掌握了漸近線的求法，卻很少有學(xué)生能準(zhǔn)確說(shuō)出漸近線的含義。在高等數(shù)學(xué)中，一般地，曲線的漸近線是這樣定義的：若曲線上一動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某一直線的距離無(wú)限趨于0，則該直線即為曲線的漸近線。在人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1教材中，介紹雙曲線的幾何性質(zhì)時(shí)首次提及漸近線，并在教材中指導(dǎo)教師利用信息技術(shù)演示雙曲線各支向外延伸時(shí)與兩條直線逐漸接近的過(guò)程，從而定義雙曲線的漸近線，指出雙曲線與漸近線無(wú)限接近，但永不相交。學(xué)生認(rèn)識(shí)漸近線的過(guò)程實(shí)則是滲透極限思想的過(guò)程，然而，筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，眾多教師為了趕超教學(xué)進(jìn)度，在平時(shí)教學(xué)中只一句話帶過(guò)，指出漸近線就是與雙曲線無(wú)限接近但不相交的直線，并給出求解公式。因此，學(xué)生很難把握漸近線的本質(zhì)含義，錯(cuò)過(guò)了滲透極限思想的機(jī)會(huì)。

3結(jié)束語(yǔ)

高等數(shù)學(xué)思想與初等數(shù)學(xué)競(jìng)賽思想的融合并不是難以企及的。在中學(xué)教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)、內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)際情景，通過(guò)有效的教學(xué)手段能夠?qū)⑷诤系臄?shù)學(xué)思想有效應(yīng)用和滲透于課堂中，并能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散。融合的思想是高觀點(diǎn)下的思維方式和思考過(guò)程，包括但不僅限于聯(lián)想的思想、數(shù)學(xué)抽象思想、極限思想、模型思想。時(shí)代在進(jìn)步，數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用也更加廣泛，大數(shù)據(jù)時(shí)代更離不開數(shù)學(xué)這一基本工具，而中學(xué)階段的解題數(shù)學(xué)思想已經(jīng)不足以指導(dǎo)和推進(jìn)思維的發(fā)散。因此，將融合的數(shù)學(xué)思想融入中學(xué)的教學(xué)，才能使師生開拓思維境界，為社會(huì)的發(fā)展提前奠定思想的基礎(chǔ)，亦是跟隨發(fā)展的大流。

參考文獻(xiàn)

[1]蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2018:2.

[2]趙梓希.基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].長(zhǎng)沙:湖南師范大學(xué),2018.

[3]沙月紅.“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)培養(yǎng)的策略——以函數(shù)概念教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].數(shù)學(xué)之友,2018(06):43-44+46.

[4]朱榮武.數(shù)學(xué)抽象思想的教學(xué)化解析及教學(xué)策略[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2015(11):13-15.

[5]田蕊.數(shù)學(xué)中的極限思想研究[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào),2018,15(22):219-221.

作者:姜瑩瑩 盧衛(wèi)君 單位:廣西民族大學(xué)理學(xué)院