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摘要：在近幾年參加的小學數學教研活動中，經常發現由于教師邏輯知識缺失所導致的錯誤。邏輯素養在小學數學教師專業素養的建構中至關重要，小學數學教師應掌握關于數學概念、數學命題、數學推理、數學證明等邏輯知識，謹防在小學數學教學中出現各種邏輯性錯誤。

關鍵詞：小學數學　教師專業素養　邏輯素養

在近幾年參加的小學數學教研活動中，我們經常發現因教師專業素養不足所導致的各種錯誤，除不少錯誤與教師的學科知識素養有關外，還有一些錯誤與教師的邏輯素養有關，這不得不引起我們的警覺和重視。因此在小學數學教師專業素養的建構中，務必要重視有關數學概念、命題、推理、證明等形式邏輯知識的掌握，謹防在教學中出現各種邏輯性錯誤。

一、掌握有關數學概念的邏輯知識

1.科學把握數學概念的邏輯定義

在人類的認識過程中，經過抽象形成新概念，由此壓縮和簡化了語言，加快了思維速度和深度。一個概念引入之后，就要借助語言，將其加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。對數學概念下定義，其基本方式是“種差+屬概念”，即把某一概念包含在它的屬概念中，并揭示它與同一屬概念下其他種概念之間的差別。比如以四邊形為屬概念，可以分別對平行四邊形和梯形下定義。在對概念下定義時，不能循環定義，比如“用兩直線垂直來定義直角，又用兩直線成直角來定義垂直”，等等。需要注意的是，盡管“種差+屬概念”是對數學概念下定義的基本方式，但對小學數學來說并非理想的定義方式，因為小學數學學多采用的是從特殊到一般的方式，因此許多數學概念無法嚴格按照“種差+屬概念”的方式定義。比如在小學教材中先教長方形，后教平行四邊形，無法以平行四邊形來定義長方形。正因此，小學數學教材中的不少概念最初都沒有嚴格定義，只是通過描述性方法來讓學生認識數學概念的特征。

2.明確數學概念與定義的邏輯關系

數學概念不同于數學定義。數學概念是從數和形兩方面揭示客觀事物本質屬性的思維產物，它反映了數學概念的內容；數學定義是對數學概念的語言表達，它是數學概念的外殼，反映了數學概念的形式。對同一個數學概念，可以有不同的定義方式。比如對平行四邊形，既可以定義為“兩組對邊分別平行的四邊形”，也可以定義為“一組對邊平行且相等的四邊形”，這主要取決于采用哪種定義，更容易凸顯出對象的本質，或更容易被學生理解和接受。當然，這些定義之間是相互等價的。需要注意的是，由于概念的定義具有人為性，因此定義方式不當，便難以反映出概念的本質屬性。比如，在小學把“角”定義為“具有公共端點的兩條射線組成的圖形”，這并未反映出角的本質，因為角的本質并非體現在可見的“圖形”上，而是體現在不可見的“張口大小”上。

3.正確認識數學概念的邏輯分類

如果將一個概念的外延集，按照某一屬性分成若干個子集，也就是將一個屬概念劃分為若干個種概念，這就是明確概念外延的方法——分類。被分的屬概念稱為劃分的母項，分得的若干種概念稱為劃分的子項，所依據的屬性稱為劃分的標準[1]。通過概念的分類，可以使有關的概念系統和完整，同時使被分類的概念的外延更清楚、深刻和具體。但對概念分類時應注意一些問題，比如每次分類只能依據一個標準、分類要不重不漏、不能越級進行分類等。在小學數學教學中，經常有教師會問：菱形是平行四邊形嗎？正方形是長方形嗎？平行四邊形是梯形嗎？圓是扇形嗎？等等。這里就涉及到對概念的邏輯分類問題。概念的邏輯分類必須基于概念的定義。比如在教材中，將正方形定義為一種特殊的長方形，菱形定義為一種特殊的平行四邊形，因此正方形也是長方形，菱形也是平行四邊形，兩者之間是包含關系。但平行四邊形并不是用梯形作為屬概念來定義的，平行四邊形與梯形均是把四邊形作為屬概念來定義的，因此兩者之間是并立關系，把平行四邊形當作特殊梯形是不恰當的。至于圓是不是扇形，單從扇形定義無法判別的話，則通常采用約定的方式，即約定一類對象中的退化情形是否屬于該類，這里并不涉及正確與否的科學性問題，僅僅是一種約定俗成的人為規定。因此對這類問題，必須具體問題具體分析，并無統一的確定答案。

二、掌握有關數學命題的邏輯知識

1.掌握命題四種形式之間的邏輯關系

為了研究數學命題的條件和結論的邏輯聯系，常把一個命題的條件和結論換位，或變為它們的否定形式，這樣就可以得到命題的四種形式，即原命題、逆命題、否命題和逆否命題。對互為逆否的兩個命題，它們具有同真同假的性質，此特性稱為逆否命題的等效原理。因此，原命題與逆否命題、逆命題和否命題具有同真同假的關系。在數學學習中，為了考察一個數學命題的真實性，可以轉換為考察它的逆否命題的真實性。比如在某節課上，任課教師引導學生學習了對稱圖形的性質，即“如果兩個點是對稱圖形的對稱點，那么這兩個點到對稱軸的距離相等。”但在課堂練習環節，在判斷哪些點為對稱點時，學生認為“因為M和N到對稱軸的距離相等，所以M和N是對稱點”，教師進行了肯定，之后學生都據此進行判斷。這里師生所犯的錯誤，即是利用了性質命題的逆命題進行判斷，但在這里原命題與逆命題并不等價。

2.明晰命題條件和結論之間的邏輯關系

數學命題常常寫成“若P則Q”的形式，其中“若P”部分叫做命題的條件，“則Q”部分叫做命題的結論。根據命題條件P對結論Q所起的作用，可以把命題的條件分為以下四種情況，即充分非必要條件、必要非充分條件、充分必要條件、既非充分又非必要條件。命題的條件和結論之間的邏輯關系，與該命題及其逆命題、否命題和逆否命題的真假，顯然存在緊密聯系。例如在上述案例中，“兩個點對稱”只是“距離相等”的充分非必要條件，若原命題的條件和結論滿足這樣的邏輯關系，則該原命題的逆命題一定不成立。

3.明確性質定理和判定定理之間的差異

性質定理是由概念或公理得到的定理，討論某個概念的時候，就包含了它的所有性質，所以性質定理的主要功能是描述特征。斷定定理是判斷所討論的某事物是否符合某個概念或公理的定理，所以判斷定理的主要功能是判斷結論。性質定理和判定定理具有互逆的特征，但兩者并不一定是互逆的命題。概念本身既是判定定理也是性質定理，且這兩個定理是互逆命題。比如平行線的概念，我們可以直接用它來判斷兩直線平行，也可以根據兩直線平行知道它們位于同一平面內且沒有交點。從命題的條件和結論的關系來看，性質定理闡述了一個數學研究對象所具有的重要性質，其作用是揭示這個研究對象的某個特征，性質定理給出了結論成立的必要條件；判定定理闡述了結論成立的依據，判定定理給出了結論成立的充分條件。區分一個定理是判定定理還是性質定理，關鍵是看該定理闡述了結論成立的依據，還是揭示了一個研究對象的某個特征，若定理闡述了結論成立的依據，則是判定定理，否則就是性質定理了。在小學數學教學中，不清楚性質定理和判定定理的關系，教學就會變得盲目，甚至導致邏輯錯誤的發生。比如教學三角形的性質“任意三角形的兩邊之和大于第三邊”時，有的教師通過讓學生用小木棒來擺一擺，最后發現“若兩個短的小木棒大于最長的小木棒，則可構成三角形”。這里就把三角形性質的學習，異化成了三角形判定的學習了。要學習三角形的性質，要先給出三角形，再根據生活經驗，知道走直線比走折線要近，由此得出三角形的性質，其本質上依據的是數學公理“兩點之間線段最短”。

三、掌握有關數學推理的邏輯知識

1.掌握邏輯推理的基本形式

推理是從一個或幾個已知判斷中得出一個新判斷的思維形式。在推理過程中，所根據的已有判斷叫做推理的前提，做出的新判斷叫做推理的結論。數學推理主要有演繹推理、歸納推理和類比推理。演繹推理是由一般到特殊的推理形式。由于演繹推理的前提判斷范圍包含結論中的判斷范圍，所以只要前提是真的，推理合乎形式邏輯規律的推理形式，就一定能得到正確結論。歸納推理是由個別事物所作的判斷，擴大為同類一般事物的判斷的一種推理形式。按照前提判斷范圍的總和是否與結論判斷范圍一致，歸納推理有完全歸納和不完全歸納兩種形式。完全歸納可作為嚴格論證的方法；不完全歸納得到的結論具有或然性，不能用于證明，只能做出假設或猜想。類比推理是根據兩個對象的某些屬性相同或相似，推出它們的其他屬性也可能相同或相似的思維形式。類比推理是思維過程中由特殊到特殊的推理形式，由于條件和結論沒有明確的必然聯系，故得出的結論具有或然性，它也是一種不嚴格的推理方法。比如在推導三角形面積公式時，有的教師直接從平行四邊形出發進行推導，即畫出一個平行四邊形，連接對角線，將其一分為二，分割為兩個一樣的三角形，根據前面所學平行四邊形面積公式，由此得出三角形面積公式。這樣的教學思路是錯誤的。其原因在于，盡管平行四邊形是任意畫出來的，但一旦畫出來后，它就是給定的，給定的平行四邊形不能確保三角形的任意性，因此推導出的三角形面積公式就不具有任意性了。也就是說，不能用“特殊”代替“一般”，否則就違反了演繹推理的基本要求。在實際教學中，我們可以采用以上這種思路來突破教學難點，即通過對平行四邊形的分割，啟發學生想到用割補法把三角形轉化為平行四邊形，但三角形面積公式的推導必須從任意給定的三角形出發。

2.掌握形式邏輯的基本規律

數學的推理與證明，運用的是形式邏輯的思維，因此必須滿足形式邏輯的基本規律。形式邏輯有四條基本規律，即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。同一律是指在同一思維過程中，使用的概念和判斷必須保持同一性，不得中途變更，違反這條規則的常見錯誤是偷換概念或偷換論題。矛盾律是指人們在同一思維過程中，對兩個反對或矛盾的判斷不能同時承認它們都是真的，其中至少有一個是假的，比如a＞b和a＜b，否則就會出現思維上的前后不一、自相矛盾。排中律是指在同一思維過程中，同一對象的肯定判斷和否定判斷不能同假，必有一個是真的，比如a＞b和a≤b，違反排中律的邏輯錯誤是模棱兩不可。充足理由律是指在思維過程中，任何一個真實的判斷必須有充足的理由，如果論題的真實性要靠論據來證明，論據的真實性又要靠論題來證明，其結果是什么也沒有證明，違反這條規則的邏輯錯誤叫循環論證。比如在學習平行四邊形時，有的教師先出示了生活中的平行四邊形實例，接著讓學生動手做出平行四邊形，在此基礎上抽象出平行四邊形的特征。其實，學生不知道平行四邊形的特征，便難以做出平行四邊形；現在運用其特征做出平行四邊形，再反其道探究其特征，這樣的教學便有循環論證之嫌。

四、掌握有關數學證明的邏輯知識

1.按是否直接證明命題，數學證明分為直接證法和間接證法

所謂直接證法，指從命題的條件出發，根據已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性。直接證法是數學中經常采用的方法，在證明過程中，通常要運用演繹、歸納、分析、綜合等方法。所謂間接證法，指不是直接證明論題的真實性，而是轉化為證明反論題不真；或者證明與論題等效的命題的真實性；或者在互逆命題等效的情況下，通過證明論題的逆命題的真實性，從而肯定論題的真實性。間接證法又可分為反證法和同一法。間接證法是論證數學結論的有力武器，體現了正難則逆、直難則曲、順難則反的思想。間接證法中的反證法在小學數學中較為重要。盡管在小學數學中沒有出現反證法的概念，但反證法思想在分析和解決問題時卻經常要用到。比如在直角三角形ABC中，已知∠C是直角，那么要說明∠A一定是銳角，最簡單的方法就是應用反證法思想。

2.按思維過程的順序，數學證明分為綜合法和分析法

在數學證明中，為了找到證明的途徑，根據思考時推理序列的方向不同，數學證明的方法可以分為分析法和綜合法。所謂分析法，就是從結論出發，逆溯其成立的條件，再就這些條件分析研究，看它的成立又需要什么條件，繼續逐步逆溯，直至達到已知條件為止，簡稱“執果索因”。而綜合法正好與之相反，它是從題設出發，以已確立的定義、公理、定理、公式、法則等為依據，逐步展開邏輯推理，直到獲得所要證明的結論，簡稱“由因導果”。通常用分析法尋找解題思路，用綜合法敘述解題過程。在小學算術應用問題的解決中，離不開綜合法和分析法的運用。簡單的問題，往往直接應用綜合法便可解決；復雜的問題，往往需要分析法和綜合法的綜合運用。分析法從要求解的結論出發，逐步尋找一系列的“須知”，思維具有目標性和方向性；綜合法從已知條件出發，逐步推出一系列的“可知”，思維具有發散性和不確定性。當“須知”和“可知”相遇之后，便成功打通了一條解題通道。

3.按證明過程所采用推理形式，數學證明分為演繹法和歸納法

用演繹推理的方法進行證明稱為演繹法，演繹法是從一般到特殊的推理形式，一般通過三段論的形式來實現。用歸納推理的方法進行證明稱為歸納法，歸納法是由特殊到一般的推理形式。如前所述，歸納法按照概括對象的范圍不同，分為完全歸納法和不完全歸納法兩類。完全歸納法的理論依據是完全歸納推理，所證命題涉及的對象數目是有限的，可以作為數學證明的工具；不完全歸納法得到的結論是或然性的，不能作為數學中嚴格論證的工具。比如在小學學習了乘法分配律之后，有學生提出有沒有“除法分配律”的問題，教師據此引導學生展開探究。探究時學生列舉了大量實例進行論證，發現除法對加法滿足右分配律，這時學生采用的便是歸納的論證方法，但這并無法真正證明某個結論。當教師引導學生將分析論證過程一般化，即（a+b）÷c=（a+b）×c1=a×c1+b×c1=a÷c+b÷c，此時采用的便是演繹的論證方法。演繹法和歸納法只在說明某個結論成立時使用。要說明某個結論不成立，如除法對加法不滿足左分配律，則只要舉出一個反例進行否定即可。

參考文獻

[1]李祎.數學教學方法論[M].福州：福建教育出版社，2010：12.

作者：李祎  單位： 福建師范大學數學與信息學院