問題驅動下概率統計課程教學探思
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［摘要］以概率統計課程中貝葉斯公式部分的教學為例，結合課程的特點，按照“設置問題”“解決問題”“發現新問題”“反思與評價”四個步驟，以問題為基本出發點進行教學創設，引導學生探究、化解難點，突出重點，抓住問題本質，強化知識網絡。實踐證明，基于問題驅動的教學方法將學生知識的掌握和創新能力的促進相統一，不僅增強了學生自學意識，同時提高了學生自學能力，通過問題的引入和思考，讓學生了解相關知識概念與定理的整個產生過程，學會用數學的思維方法來探討研究數學問題。
隨著社會的進步，經濟金融、保險管理、人工智能等各個方面都跟數據分析聯系得越來越緊密，概率統計方面的能力也越來越受到重視。數學新課程標準將“數據分析”作為核心素養提出，同時從近幾年的高考真題也可以看到，涉及概率統計的題目在逐漸增加。概率統計以研究隨機現象的規律性為出發點，應用性較強，學生在學習過程中容易產生畏難情緒。因此，如何采用有效的課堂教學方法激發和增強學生的探索欲與求知欲，將概率統計的知識與實際背景相融合，引導學生積極主動地融入課堂，在學習中自主將理論與實踐相結合，并將知識融會貫通真正體會所學內容的本質與思想，成為一個值得研究和探討的課題。教學思想與教學方法是課堂的靈魂，特別是數學類課程。一味進行知識的灌輸，會使得原本抽象的數學類課程更加晦澀難懂，從而降低學生的學習興趣，更談不上在學習中提高自身的數學能力與數學素養。合適的問題是承載數學思想與方法的良好載體，以問題為基本出發點進行情境創設，循序漸進地啟發學生發現并提出問題，進一步引導其分析與解決問題，在分析問題過程中課堂教學才能散發出它獨特的思想光芒。
一、問題驅動式教學對概率統計課程的作用
概率統計作為數學的特殊分支，蘊含著隨機思維，相對于熟悉的代數、幾何這類確定性的數學內容，學生對隨機試驗、隨機事件等概率統計中的新概念比較陌生，想要清楚認識并理解這些概念，必定需要隨機思想這把打開概率統計大門的鑰匙，了解隱藏在隨機現象之后的統計規律。通過不斷地大量觀察發現規律然后歸納總結得到結論，這種不同于以往確定性數學思維的方法使得學生接受起來相對困難。我國統計界泰斗陳希孺先生說過:“統計規律的教育意義是看問題不可絕對化，習慣于從統計規律看問題的人在思想上不會偏執一端。”［1］突破原有的確定性思維，學會從不確定的角度觀察世界，就需要不斷地提出問題進行本質思考，就需要創設問題情境，與生活體驗相結合，了解知識本身，了解知識背后所蘊含的思想意識，抓住思想與精髓。問題驅動的教學模式融入概率統計課堂，對學生隨機思維的形成與培養起到決定性作用。
二、問題驅動式概率統計課程教學的探究與應用
(一)問題驅動教學模式的理論背景與實施步驟
概率統計教學離不開問題的驅動，教師要運用數學知識背后蘊含的背景問題，將問題進行提煉加工后展現給學生，引導學生進行深層次的思考與探索，進而達成問題驅動下啟發引導式教學的目的。問題驅動的教學方法一般以四步進行。第一，設置問題。首先讓學生自由組隊，形成若干小組，小組內部進行分工協作。教師對教學內容的知識背景或積累的相關案例進行提煉分析，呈現給學生可供探討的問題。第二，解決問題。為了解決這個問題，學生需要學習相關的專業知識，開始搜索相關資料，并不斷地通過小組內部的相互溝通與討論，豐富并逐步完善知識網絡，在討論的過程中促進問題的解決，形成解決方案。第三，發現新問題。在探討時，不同的學生可能會產生不同觀點，同一個小組或不同小組間會產生不同的解決方案，小組將發現出新的問題，新問題的出現又需要重復第二步工作。第四，反思與評價。在前幾個步驟學習后，學生將進行自我反省，對問題的解決方案進行自我評價，總結新知識，在整個思考探討研究的過程中獲得數學思維能力。這種教學模式事實上是以建構主義學習理論為根據。建構主義學習理論強調教學絕非知識的簡單傳遞，而是知識的加工、轉換與升華。［2］教師在教學中應當把學生原有的知識信息結構作為新內容的基石，將學生自己對各種問題與現象的理解放在重要位置，聆聽學生的認知思想，思索他們這些認知的由來，成為學生的輔導者與促進者，帶引學生從原有的知識結構中萌生出新認知，進行知識再創造。
(二)教學案例設計應用
在問題驅動式概率統計的實踐教學中，還應注重教學方式方法的靈活運用。接下來將以真實課堂為載體，以貝葉斯公式部分的教學為例，根據具體教學知識點與內容來設計問題，引導學生探究，驅動課堂教學。
1．課前任務，進行問題鋪墊
首先，為調動學生積極性，為接下來要學習的知識點做鋪墊，讓學生在課前通過網絡觀看1981年美國總統里根遇刺實錄視頻及相關報告，在觀看視頻后借助教師發放的PPT課件預習相關知識點與例題，討論教師設置相關問題，分小組完成任務單(表1)，并提交小組分工安排及討論情況，任務驅動激勵學生自主探究與合作學習。在這個過程中，通過知識的提前滲透，形成了基本的知識框架和知識的初步轉移，為后面的學習做了良好的鋪墊。將貼近生活的引例或從實踐中產生的問題作為引入，不僅引起了學生的關注，增強學生的情感共鳴或體驗，引發了學生進一步探究的興趣，同時也大大激發了學生的求知欲與積極性。
2．分析探討，完善知識網絡
課中各組分別派代表匯報任務單中涉及的問題，小組內部其他成員可進行適當補充，小組之間進行互評。一方面檢測了學生課前預習效果，另一方面查看了小組協作能力，通過這個環節發現學生共有的疑難問題，為后面課堂的繼續探討開啟話題。接下來，教師結合各小組的匯報情況，帶領學生一起分析題目。貝葉斯公式這個知識點在概率領域有著舉足輕重的地位，同時也是學生學習的難點。教師可先結合前面學過的條件概率和全概率公式，幫助學生理清背景資料中涉及的事件及其概率，抓住關鍵，再從一些實際案例出發穿插引入先驗概率和后驗概率的概念，使學生形成對新公式的直觀理解，建立模型，讓學生理解貝葉斯公式的思想與應用。人們對某個事物的歷史認識或主觀判斷，像我們在課堂上學的很多知識，跟父輩、老師或網絡等學得各種各樣的知識經驗等，這些使得我們對所生活的周邊世界和我們的認知世界都有了先定的直觀理解，從而對許多事都有自己的判覺與思考，這就叫先驗信息。［4］以常見的拋硬幣為例，正面朝上的概率為0．5，而且無數次重復實驗也表明是這個概率，這幾乎形成了我們的一個常識，是在拋硬幣前、事情還沒發生前，就已經可以進行的概率判斷。先驗概率是用數學語言對事情發生的可能性大小的判斷。而后驗概率是事情已發生，判斷事情發生的原因是由眾多因素中的哪個因素引起的可能性大小。例如，上課鈴響了，老師發現A同學還沒來學校，假設A同學遲到的可能因素有兩個:生病了和自行車在路途中壞了。A同學遲到的概率就是先驗概率，這個可以根據以往出勤的情況綜合得出來。而現在A同學遲到這件事情已經發生，產生的原因有兩個，后驗概率是在事情發生后判斷由哪一個原因引起的概率，這里的事情是A同學上學遲到，原因有生病了和自行車壞了，因為生病了沒來學校的概率和自行車壞了沒來學校的概率就是后驗概率。清楚了這兩個概念后，才能更好地進行后面的分析。對背景資料，我們分析所需，引導學生理清資料中涉及的事件，于是可以記:A={Hinckley是精神病患者}，B={CAT掃描顯示為腦萎縮}則由背景資料可知，P(A)=0．02，P(B|A)=0．3，P(B|A)=0．02而Hinckley的掃描結果顯示腦萎縮，要判斷Hinckley是否患有精神病，問題便轉化為求已知掃描顯示為腦萎縮而患有精神病的概率，即求P(A|B)。于是由貝葉斯公式計算，P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0．3×0．020．3×0．02+0．02×0．98≈23．44%由該結果可知，辯護律師以Hinckley的掃描結果為證據判定其患有精神病是不可信的。這樣，通過課中的進一步深入討論與交流，讓每一個學生都能夠親歷學習的過程，讓每一個學生都真正參與到課堂中來，對他們邏輯思維的訓練、概括表達能力的提升以及團結協作、發現并接受學習的異同等很多方面都起到了一定的促進效果。
3．深入思考，鞏固重難點
在對任務1做出結論后，也可能會引起部分同學的疑問:精神病患者的CAT檢測結果中顯示腦萎縮的概率為P(B|A)=0．3，會不會偏小，因此才使得最后算出來的P(A|B)較小?若提高這個比值，判定結果還會是一樣嗎?于是帶著疑惑，進入任務2的探討。在任務2的假設之下，有P(A)=0．02，P(B|A)=0．9，P(B|A)=0．02，得到P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0．9×0．020．9×0．02+0．02×0．98≈47．8%結論顯示，即使90%的病患者CAT檢測都顯示腦萎縮P(B|A)=0．9，Hinckley患有精神病的概率P(A|B)也只有47．87%，該數據相對于他沒患病的概率也更小。由任務1和任務2的探討結果便知道:由P(B|A)＞P(B|A)(精神病患者相對一般人更易腦萎縮)，就得出P(A|B)＞P(A|B)(如果一旦測得腦萎縮，那么此人有很大概率患有精神病)的結論，這種直覺的判斷是錯的。也通過此處引導提示學生，回顧前面學過的條件概率中符號P(B|A)與P(A|B)，雖然形式類似，但意義卻完全不同。新問題的探討讓學生從基礎認識到強化訓練，不僅可以幫助學生進一步強化知識結構，形成知識的鞏固，還能排除已有的知識印象誤區，挖掘出潛在性的問題，對問題和知識能夠做到見微知著，逐漸發現其本質的規律。
4．聯系實際，強化知識
在解決了前兩個任務后，由任務3，聯系實際生活中的情況，假設P(A)=0．4，于是P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0．3×0．40．3×0．4+0．02×0．6≈90．9%由貝葉斯公式的計算發現，P(A|B)＞P(A)，即CAT結果顯示腦萎縮而患有精神病的概率P(A|B)大于本就是精神病患者的概率P(A)，由此可知，診斷的可靠性隨著先驗概率P(A)的增大而明顯升高。對任務3的探究表明，對這類特殊人群，這類檢測對診斷是特別有效的。實際生活中去醫院看病，一般都進行各類檢查、不斷復查后才進一步確診的原因和必要性由此可見。［5］此外還可以讓學生通過貝葉斯公式的其他實際應用舉例分析，將知識結合實際，將生活化的例子引入實際教學中，通過案例共同探討，讓學生除對所學知識深入理解外，切實感受到學習概率統計不僅僅是會做題，而是能解決身邊很多實際問題。至此可見，本教學片段的設計案例就是通過一系列的任務與問題來啟發學生不斷深入地探討思考，化解難點、突出重點，抓住問題本質、強化知識網絡，達到最終教學目的。
三、結語
問題驅動下概率統計課程教學將學生知識的掌握和創新能力的促進相統一，不僅增強學生自學意識，還提高其自學能力，通過問題的引入和思考，讓學生了解到相關知識概念與定理的整個產生過程，學會用數學的思維方法來探討研究數學問題。不斷引發式的思考與探索也讓學生們認識到更新知識才是最終目的，掌握知識只是過程與手段。一個個的知識點不再是課本上的概念公式和定理，而是不斷更新和拓展的認知過程和求知方法。不僅提高了學生學習數學的興趣，還培育了良好的數學素養，激發了無限的潛能，也恰恰與數學本身的發展規律相吻合。問題驅動式數學教學本質也就是問題的提出引入、思考探究和逐漸解決的全過程［6］，在這樣的教學過程中，教師要學會利用問題來推動教學，通過對知識進行重新整合，不斷完善自己的教學技能和方式，更好地啟發學生的數學思維，促進學生進行思考。荷蘭數學教育家H．Freudenthal說過:“數學教育是數學的再創造。”［7］只有懂得去引導學生一起進行數學的再創造，通過問題站在更高平臺上的教師，才能真正看清知識所承載的思想，觸動數學靈感到達本質。
作者:何友誼 李霞 單位:湖南文理學院師范學院
