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[摘要]本文在分析了現(xiàn)行數(shù)字簽名（PKI）的缺陷的基礎(chǔ)上，提出基于橢圓曲線的數(shù)字簽名加解密技術(shù)的數(shù)字簽名體制。該方案是基于橢圓曲線離散對數(shù)問題的難解性，大大增強(qiáng)了攻擊難度和提高了簽名的效率，極大地提高了數(shù)字簽名體制的安全性。

[關(guān)鍵詞]數(shù)字簽名用戶密鑰橢圓曲線公鑰密碼離散對數(shù)

一、引言

數(shù)字簽名用于鑒定簽名人的身份以及對一項電子數(shù)據(jù)內(nèi)容的認(rèn)可。它還能驗證出文件的原文在傳輸過程中有無變動，確保傳輸電子文件的完整性、真實性和不可抵賴性。隨著計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的飛速發(fā)展和迅速普及，數(shù)字簽名系統(tǒng)密鑰的安全性和數(shù)字簽名的有效性，一直是國內(nèi)外研究人員的研究熱點(diǎn)。現(xiàn)行數(shù)字簽名的加解密技術(shù)絕大多數(shù)采用的是20世紀(jì)80年代由美國學(xué)者提出的公鑰基礎(chǔ)設(shè)施（PKI）。PKI是一種利用非對稱密碼算法(RSA算法，即公開密鑰算法)原理和技術(shù)來實現(xiàn)的。然而近年來的研究表明，512位模長的RSA已經(jīng)被攻破，為了保證安全性。RSA不得不采用更長的密鑰，這將降低RSA系統(tǒng)的運(yùn)行速度。橢圓曲線密碼系統(tǒng)(ECC)比RSA等其他公鑰加密系統(tǒng)能提供更好的加密強(qiáng)度、更快的執(zhí)行速度和更小的密鑰長度。這些性能使得橢圓曲線密碼系統(tǒng)能用較小的開銷和時延實現(xiàn)較高的安全性，特別能滿足在帶寬、計算能力或存儲能力等受限的各種特殊應(yīng)用場合。基于橢圓曲線的數(shù)字簽名已成為目前數(shù)字簽名技術(shù)的研究熱點(diǎn)。本文對基于橢圓曲線的數(shù)字簽名加解密實現(xiàn)技術(shù)進(jìn)行研究。

二、基于橢圓曲線的數(shù)字簽名加解密技術(shù)簡介

基于橢圓曲線的數(shù)字簽名加解密技術(shù)是建立在有限域上的橢圓曲線基礎(chǔ)上。所謂有限域Fq上的橢圓曲線是在仿射平面A2k上滿足Weierastrass方程的平滑曲線:y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6

也就是該方程的解及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O的集合，其中ai∈Fq(i=1,2,3,…,6)。把該橢圓曲線表示為E，橢圓曲線上的所有點(diǎn)組成一個Abel群，用#E(Fq)來表示。橢圓曲線密碼系統(tǒng)就建立在這個有限群上。有限域Fq上的橢圓曲線的點(diǎn)的加法法則是:

已知橢圓曲線E上的兩點(diǎn)P、Q，其中P=(xP,yP)，Q=(xQ,yQ),且P≠-Q，設(shè)λ是P、Q所確定的直線的斜率，當(dāng)P≠Q(mào)時，有;當(dāng)P=Q時，有，令R=P+Q=(xP+Q,yP+Q)，可知R也是橢圓曲線E上的點(diǎn)，其中有

這時點(diǎn)P的逆-P=(xP,-yP)。

三、橢圓曲線的數(shù)字簽名加解密算法實現(xiàn)

1.系統(tǒng)的建立和密鑰生成

（1)系統(tǒng)的建立

選取一個基域Fq，在Fq上隨機(jī)尋找一條階含有大素數(shù)因子的隨機(jī)橢圓曲線E及E上階為素數(shù)n的基點(diǎn)G=(xG,yG)，a,b是橢圓曲線E的參數(shù)。則我們已經(jīng)建立了橢圓曲線公鑰密碼系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)為(Fq,G,n,a,b)。

（2)密鑰的生成

系統(tǒng)建成后，每個用戶各自產(chǎn)生自己的密鑰:

①用戶A隨機(jī)選取一個整數(shù)d，其中1≤d≤n-1；

②然后計算:Q=dG,如果Q是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)或G，則需重新選擇d;

③將d作為私鑰保存，Q作為公開密鑰公開。

2.數(shù)字簽名的加密過程

假設(shè)用戶B要把數(shù)字簽名信息m發(fā)送給用戶A，則用戶B首先將信息原文用哈希算法求得數(shù)字摘要，然后進(jìn)行如下操作：

(1)用戶B找出A的公鑰Q，然后隨機(jī)選取一個整數(shù)k，其中1≤k≤n-1，計算P=kG=(x1,y1);

(2)計算:kQ=(x2,y2);

(3)計算:c=mx2;

(4)最后把生成的數(shù)字簽名(P,c)發(fā)送給用戶A。

3.數(shù)字簽名的解密過程

當(dāng)用戶A收到B發(fā)送來的數(shù)字簽名(P,c)后，用自己的私鑰d進(jìn)行如下解密操作：

(1)用戶A計算:dP=(x2,y2)，因為dP=d(kG)=dkG=k(dG)=kQ=(x2,y2);

(2)然后計算:m=cx-12;從而恢復(fù)出數(shù)字簽名信息m。

四、橢圓曲線的數(shù)字簽名加解密算法分析

橢圓曲線公鑰密碼是基于橢圓曲線離散對數(shù)問題的難解性，即在有限域Fq上，已知P、Q在橢圓曲線E上的有理點(diǎn)，要尋找一個d∈Fq，使得Q=dP，這是很難解的。從上面算法可知，在解密過程中，要求出x2-1，必須知道x2，而要知道x2，必須知道dP，或者必須知道kQ，而知道G、Q、P，要求出用戶A的私鑰d或隨機(jī)整數(shù)k，這相當(dāng)于求解橢圓曲線離散對數(shù)問題，就現(xiàn)有的計算技術(shù)和能力來說，如果橢圓曲線公鑰密碼系統(tǒng)中的橢圓曲線是隨機(jī)選取的，而且它的階包含有大素數(shù)因子，那么這是一個很難的問題。也就是必須求逆運(yùn)算，這是一個很費(fèi)時和復(fù)雜的過程。

五、結(jié)語

該方案的簽名過程比EC-DSA或EC-ElGamal少計算一次有限域元素的逆，而在Fq中求元素的逆需要使用EEA，該算法的執(zhí)行時間比模乘算法快80多倍，而簽名過程需要的時間比模乘快700多倍，因此該協(xié)議在簽名速度上將比EC-DSA或EC-ElGamal協(xié)議快大約10％，在密鑰生成部分該協(xié)議比EC-DSA和EC-Schnorr要簡單。如果協(xié)議雙方用戶都嚴(yán)格履行協(xié)議，并且協(xié)議中隨機(jī)數(shù)和散列算法都是理想的，即使攻擊者獲得某個時期的密鑰并試圖偽造數(shù)字簽名信息m,由于C=mx2，攻擊者不知道x2，因此也不能計算出C。該方案較之文獻(xiàn)中的方案增強(qiáng)了安全性，在有效性方面也得到了進(jìn)一步保證，因此具有一定的理論價值和廣泛的應(yīng)用前景。

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