前言：想要寫(xiě)出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇排列組合例題范文，相信會(huì)為您的寫(xiě)作帶來(lái)幫助，發(fā)現(xiàn)更多的寫(xiě)作思路和靈感。

排列組合例題范文第1篇

下面我們給出容斥原理的兩種等價(jià)形式，即以下的定理1和定理2，其中

表示有限集合A中的元素個(gè)數(shù)．

當(dāng)k=3時(shí)，A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C．

定理2設(shè)A1，A2，A3，…，Ak是集合S的k個(gè)子集合，則

由這兩個(gè)定理，我們可以解決一些需要討論多次的題目．

用容斥原理來(lái)解題時(shí)，關(guān)鍵在于能否用集合語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言將所要解決的問(wèn)題表示出來(lái)．

一、在排列中的應(yīng)用

先來(lái)看一道老題.

某市的4個(gè)化工廠，為了降低成本，適應(yīng)市場(chǎng)變化，合并成一個(gè)化工集團(tuán)公司，公司董事會(huì)由7名董事組成.

產(chǎn)生的7名董事全部分到各工廠進(jìn)行生產(chǎn)管理，每廠至少一名，有幾種分法？

解析：方法一 ―― 分情況討論

最后的分配方式有三種可能，（1）一個(gè)工廠4個(gè)，其余各1個(gè)；（2）一個(gè)工廠3個(gè)，一個(gè)工廠2個(gè)，其余各一個(gè)；（3）一工廠1個(gè)，其余各2個(gè)．

可得最后結(jié)果為CCA+CCCCA+CCCCC=8 400種．

方法二 ―― 容斥原理

將這四個(gè)化工廠命名為A1，A2，A3，A4，設(shè)B1表示工廠A1無(wú)董事派入，B2表示工廠A2無(wú)董事派入，B3表示工廠）=47－4?37+C?27－C?17+C?0=8 400．

由此可知，容斥原理主要用于多個(gè)獨(dú)立條件共同作用的計(jì)數(shù)問(wèn)題中．在高中數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的就是有限制的排列問(wèn)題，下面，筆者列舉數(shù)例．

例19個(gè)人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，則有幾種排法？（禁位排列）

解析：設(shè)A表示甲站在第一排左端，B表示乙站在第三排右端，則有A=B=A，A∩B=A，依題意有，滿足條件的排法總=A－2A+A.

與容斥原理相同的思路，我們還可以得到下面幾個(gè)關(guān)系式．

上述公式可以用韋恩圖進(jìn)行驗(yàn)證．

例29個(gè)人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，丙必須站在第三排，問(wèn)此時(shí)有幾種排法？

解析：此題用分類(lèi)討論的方法可以得到解決，但靈活性較強(qiáng)． 同時(shí)此題也可以用上面所給出的公式直接求解．

方法一 ―― 分類(lèi)討論

對(duì)丙的情況進(jìn)行討論，（1）當(dāng)丙不在第三排右端時(shí)，排法先排丙有A種排法，再排剩下8人，按容斥原理（同例1）可得剩下8人的排法總數(shù)為A－2A+A，則這種情況的排法總數(shù)為A?（A-2A+A）=92 880；（2）當(dāng)丙排在第三排右端時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)乙排在第一排左端時(shí)，有A=5 040種排法，②當(dāng)乙不在第一排左端時(shí)有A?A?A=30 240種排法． 綜上，滿足條件的排法有92 880+5 040+30 240=128 160種排法．

方法二 ―― 直接套用公式

設(shè)A1表示丙在第三排；A2表示甲在第一排左端；A3表示乙在第三排右端． 依題意有

二、在古典概型中的應(yīng)用

因?yàn)楣诺涓判秃?a href="http://m.sdfengxin.cn/haowen/126653.html" target="_blank">排列組合是一脈相承的，所以容斥原理也可以應(yīng)用于概率問(wèn)題． 對(duì)于獨(dú)立事件來(lái)說(shuō)有如下公式．

設(shè)A，B是兩相互獨(dú)立的事件，P（A），P（B）表示A，B發(fā)生的概率，A+B表示A或B發(fā)生，A?B表示A和B同時(shí)發(fā)生，則有

P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A）?P（B）.

對(duì)其進(jìn)行推廣，當(dāng)A1，A2，A3，…，An為n個(gè)相互獨(dú)立的事件，則有

P（A1＋A2＋A3＋…＋An）=P（Ai）－P（Ai）P（Aj）+P（Ai）? P（Aj）P（At）+…+（-1）n-1P（A1）P（A2）P（A3）?…?P（An），由數(shù)學(xué)歸納法可得上述結(jié)論．

和計(jì)數(shù)問(wèn)題的思路一致，先將滿足條件的事件寫(xiě)出，再套用公式即可解答概率問(wèn)題．

例3甲、乙、丙三人各進(jìn)行一次射擊，如果三人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，求

（Ⅰ）三人都擊中目標(biāo)的概率；

（Ⅱ）至少有一人擊中目標(biāo)的概率．

解析：（Ⅰ）P（A?B?C)=P（A）?P（B）?P（C）=0.63=0.216；

（Ⅱ）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（A）P（B）－P（B）P（C）－P（A）P（C）+P（A）P（B）P（C）=0.6×3－3×0.62+0.63=0.936．

例4如圖1所示，電路中五個(gè)方框均為保險(xiǎn)匣，A，B，C，D，E各個(gè)保險(xiǎn)絲被燒斷的概率分別為，，，，，且通電后保險(xiǎn)絲是否燒斷是相互獨(dú)立的，則通電后不斷路的概率為多少？

[A][B][C][D][E]

圖1

解析：若我們?cè)O(shè)A′，B′，C′，D′，E′分別表示A，B，C，D，E不被燒斷這一事件． 依題意得，P（A′）=，P（B′)=，P（C′）=，P（D′）=，P（E′）=，通電后不斷路這一事件可寫(xiě)成（A′?B′＋C′）?（D′＋E′），由A′，B′，C′，D′，E′相互獨(dú)立，則所求概率為

P［（A′?B′＋C′）?（D′＋E′）］

＝P（A′?B′＋C′）?P（D′＋E′）

=［P（A′?B′）+P（C′）－P（A′?B′?C′）］［P（D′）+P（E′）－P（D′?E′）］

=

對(duì)于可以用容斥原理及相關(guān)推論解決的題來(lái)說(shuō)，先準(zhǔn)確地寫(xiě)出事件，再套用公式可以避免解題中過(guò)多的討論．

參考文獻(xiàn)

排列組合例題范文第2篇

1 、把5個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子（不限制盒子放球數(shù)，每盒最多可放5個(gè)）有幾種不同的放法？

分析：5個(gè)小球分5次放（5步），每一個(gè)小球有5種放法。

解：有分步計(jì)數(shù)原理得

評(píng)述：本題是利用分步原理求解，模型為n個(gè)不同的球放入m個(gè)不同的盒子中（每盒可以放n個(gè)）有mn

2、把5個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子只能放一個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：本題就是5個(gè)不同的元素按一定順序排列的排列個(gè)數(shù)，是一個(gè)典型全排列問(wèn)題。

解：

3、把3個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子只能放一個(gè)，有幾種不同的放法？

解： 或

評(píng)述：本題是球少盒子多（元素少，位置多），可以理解為從5個(gè)不同盒子中先取出3個(gè)盒子然后將3個(gè)小球一對(duì)一的放入每個(gè)盒子即為全排列

模型：把m個(gè)不同的元素放入n個(gè)不同的對(duì)象（ ）（每一個(gè)對(duì)象只能放一個(gè)元素）其排列數(shù)為 ，其實(shí)就是對(duì)排列概念的真正理解。

4、把7個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：先把7個(gè)小球分成5組，再把5組（5個(gè)元素）進(jìn)行全排列，分組有兩類(lèi)：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各組的組數(shù)分別為 ， 因此：N=

評(píng)述：本題是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此要先分組（把這些元素分成與位置一樣的組）后排列；要注意寫(xiě)出有幾類(lèi)不同的分組，同時(shí)分組要注意平均分組和局部平均分組的計(jì)算方法。（這里就不展開(kāi)了）。

5、若5個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)，且要求乙球放入的盒子編號(hào)要比甲小，丙球放入的盒子編號(hào)要比乙球小，有幾種不同的放法？

分析：先在5個(gè)盒子中選出兩個(gè)放入另外兩個(gè)球有 ，剩下的3個(gè)盒子中按號(hào)從大到小放甲、乙、丙，只有一種方法。因此，N=

評(píng)述：本題對(duì)3個(gè)不同小球限制了條件。看上去有順序限制，事實(shí)上是變成了與順序無(wú)關(guān)的組合問(wèn)題。

6、把紅、黃、藍(lán)、白、黑5個(gè)小球放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子只能放一個(gè)：

若要求紅黃相鄰，有幾種不同的放法；

若紅、黃不相鄰，有幾種不同的放法；

紅球不在1號(hào)盒子，黃球不在5號(hào)盒子，有幾種不同的放法？

分析：（1）把紅黃兩個(gè)球看作一個(gè)整體與另外3個(gè)小球進(jìn)行全排列有 ，又紅黃兩個(gè)小球可以進(jìn)行全排列 ，故N=

（2）因?yàn)榱硗?個(gè)小球能制造4個(gè)空檔，所以先3個(gè)小球的全排列有 ，而紅、黃兩球的排法有 ，故N=

（3）本題可用間接法

評(píng)述：（1）（2）兩題是常見(jiàn)的相鄰與不相鄰問(wèn)題，分別采用捆綁法和插空法，學(xué)生應(yīng)該比較熟悉。而（3）是常見(jiàn)的對(duì)元素（或位置）進(jìn)行限制的問(wèn)題。分別對(duì)兩個(gè)元素限制不能排在某兩個(gè)位置上的排列模型為： 或

7、3個(gè)相同的小球放入到5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子只能放一個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：先從5個(gè)盒子中任取3個(gè)盒子有 種，由于放入的是相同的元素，故是無(wú)序問(wèn)題，所以N= 。

評(píng)述：本題突出了球相同，說(shuō)的是把相同的元素放入到不同的位置，是組合問(wèn)題，是對(duì)組合概念的具體化，不過(guò)其特點(diǎn)是球少盒子多。（元素少，位置多）

8、把7個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：法一：先把7個(gè)小球分成5組有以下幾類(lèi)：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2，元素是相同的，故第一種有 （或 ），第二種有 （或 ）N= + =15

法二：相同元素分配用擋板法，故有 =15種

評(píng)述：本題是相同小球m個(gè)放入n個(gè)不同的盒子（m>n），每個(gè)盒子中至少一個(gè)元素，用擋板法比較簡(jiǎn)練，類(lèi)似的有名額分配問(wèn)題。

引申：若把12個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子至少放2個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：先在每個(gè)盒子上先放上1個(gè)小球，再將剩下的7個(gè)小球用擋板法分別放入到5個(gè)盒子中，有 =15種

排列組合例題范文第3篇

[關(guān)鍵詞]分球入箱常規(guī)特殊

中圖分類(lèi)號(hào):O29文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1671-7597(2009)1110003-01

排列組合問(wèn)題的求解要求具備較強(qiáng)的空間想象能力和對(duì)問(wèn)題內(nèi)涵的充分理解與認(rèn)識(shí),因此,從最基礎(chǔ)的知識(shí)入手,從不同角度對(duì)基礎(chǔ)問(wèn)題的解法進(jìn)行探究,往往能夠歸納總結(jié)出相應(yīng)的解題思路與方法,具有較強(qiáng)的理論與應(yīng)用價(jià)值。在排列組合問(wèn)題中,分球入箱問(wèn)題對(duì)綜合素質(zhì)的要求較高,因此也容易使得這類(lèi)問(wèn)題成為難點(diǎn)的重要原因。本文將從最基礎(chǔ)的分球入箱題型入手,對(duì)其常規(guī)與特殊解法進(jìn)行探究。

例題:將n個(gè)相同的球放入m個(gè)不同的箱子中,如果不允許有空箱,有多少種不同的方法?若允許有空箱,有多少種不同的方法?

該例題是分球入箱問(wèn)題中最為基礎(chǔ)的問(wèn)題,常規(guī)解法較為抽象,對(duì)于第一問(wèn),是將n個(gè)球排列成一排,再將箱子想象成m-1個(gè)隔板,由于箱子中不能存在空箱,因此隔板之間不能存在相鄰的情況,即在n個(gè)球形成的n-1個(gè)空隙中,選取m-1個(gè)空隙,將各個(gè)隔板分別插入到這些空隙當(dāng)中,因此得到的結(jié)果就是一共有 種方法。而第二問(wèn)的常規(guī)解法更為抽象,原理同第一問(wèn)相同,但是因?yàn)樵试S有空箱,因此隔板可以出現(xiàn)任意相鄰的情況,此時(shí)可以將隔板與球等同看待,將二者組成的n+m-1個(gè)物體中再插入m-1個(gè)與第一文中相同、無(wú)法相鄰的隔板,從而將其分開(kāi),得到的結(jié)果是共有 種方法。

可以看到,常規(guī)解法較為抽象,直觀性不強(qiáng)。考慮到分球入箱問(wèn)題是較為基礎(chǔ)的題型,與其他很多種題型具有較強(qiáng)的共通之處,因此本文認(rèn)為,可以將這類(lèi)問(wèn)題作相應(yīng)的變形,轉(zhuǎn)化為另外的問(wèn)題加以研究。

方法舉例一:題目轉(zhuǎn)型為黑白球排列問(wèn)題

這種方法的特點(diǎn)在于,將球和隔板分別看做是不同顏色的小球,各個(gè)顏色的小球之間不存在差異,這樣,分球入箱問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了相對(duì)較為簡(jiǎn)單直觀的黑白球排列問(wèn)題。例題中的第一個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成為有n個(gè)白球和m-1個(gè)黑球,對(duì)這些小球的排列要求不能將黑球相鄰排列,且黑球不能排在首末的位置,求其排法,原理與分球入箱的常規(guī)解法相同,是將黑球分別排列于n個(gè)白球之間的n-1個(gè)空隙中,因此排法的總數(shù)為 。而第二問(wèn)就轉(zhuǎn)化為將所有的黑球和白球任意排列的方法總數(shù),而解法就更為直觀,即可以想象有n+m-1個(gè)空格,將所有小球排列進(jìn)去,不難發(fā)現(xiàn),只要將白球或黑球先進(jìn)行排列,則剩余顏色的球的排列方式就將是一定的,因此若先排列白球,則方法的數(shù)量為;先排列黑球則方法的數(shù)量為,有組合數(shù)的對(duì)偶原則可以看到,二者是相等的,該題得解。

方法舉例二:隔板插入法的變形

常規(guī)解法中盡管使用了隔板插入法,但是在對(duì)第二問(wèn)的求解過(guò)程當(dāng)中,兩次插入隔板,容易造成解題過(guò)程中思路的混亂與概念混淆,因此,將隔板插入法作一個(gè)簡(jiǎn)單的變形,將隔板編號(hào),引入隔板插入的順序就可以解決這個(gè)問(wèn)題。

該方法對(duì)第一問(wèn)的解法與常規(guī)解法大致相同,將m-1個(gè)隔板插入到n個(gè)小球形成的n-1個(gè)空隙當(dāng)中,但是由于不能有空箱,因此,隔板之間必須有小球而不能相鄰。從n-1個(gè)空隙中選取m-1個(gè),按照不同的順序進(jìn)行擺放,可以看到有 種方法。

而對(duì)于問(wèn)題的第二問(wèn),兩次插入隔板的方法略微復(fù)雜,且其過(guò)程不夠清楚,對(duì)于題目的理解和解法的原理難以準(zhǔn)確把握,因此,可以將隔板看作是與小球相同的另外m-1個(gè)小球,但是要對(duì)這些小球進(jìn)行標(biāo)號(hào),因?yàn)樵谠搯?wèn)題中,可以有空箱的存在,因此無(wú)論這m-1個(gè)小球如何擺放都是可以的。此時(shí)將第一個(gè)小球插入到原有小球中時(shí),有n+1個(gè)空隙可供選擇,相應(yīng)的也就有n+1中插入的方法;將第一個(gè)小球插入之后,排列的小球數(shù)量變?yōu)閚+1個(gè),可供第二個(gè)小球插入的空隙相應(yīng)增加到n+2個(gè),以此類(lèi)推,可以看到,編號(hào)的小球插入的方法總數(shù)為(n+1)×(n+2)×(n+3)×…×(n+m-1)中,此時(shí)應(yīng)當(dāng)注意,小球原先是沒(méi)有編號(hào)的,因此對(duì)于小球安放的順序帶來(lái)的方法總數(shù)的增加應(yīng)當(dāng)被舍去,因此,實(shí)際上得到的方法

方法舉例三:分類(lèi)累加法的一般規(guī)律

在分球入箱中給出數(shù)字較為具體的例題當(dāng)中,分類(lèi)累加法的運(yùn)用較多,因?yàn)橥ㄟ^(guò)這種方法能夠直觀準(zhǔn)確的判斷各種情況發(fā)生的可能與過(guò)程,從而對(duì)解決分球入箱問(wèn)題的激勵(lì)有一個(gè)準(zhǔn)確的把握。在本文的例題當(dāng)中,使用n和m兩個(gè)未知數(shù)可以為這類(lèi)問(wèn)題提供分類(lèi)累加法運(yùn)用的一般規(guī)律,從而解決類(lèi)似的所有問(wèn)題。

首先來(lái)看第一問(wèn)的解答方法,將所有的小球放置到盒子里并保證每個(gè)盒子都不空,如前文所述,得到的組合數(shù)為 個(gè),由此可以類(lèi)推,使得n個(gè)球在m-1個(gè)箱子里分布且保證箱子不空的方法數(shù)有 種。分類(lèi)累加法的基本原理正是假設(shè)空箱子的個(gè)數(shù)。箱子的總數(shù)為m個(gè),因此箱子最多只能有m-1個(gè)是空著的,因此,例題第二問(wèn)的實(shí)質(zhì)就是求當(dāng)空箱子的個(gè)數(shù)分別為0,1,2,…,m-1的時(shí)候,也就意味著除了這些空箱子之外,其他的箱子保證不空的方法數(shù)的總和,為:

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可以得到,求得的N就是 。

通過(guò)本文對(duì)分球入箱問(wèn)題常規(guī)與特殊解法的探究可見(jiàn),這類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)性較強(qiáng),可以通過(guò)很多不同的角度,與很多其他方面的知識(shí)相融合進(jìn)而得到不同類(lèi)型的解題思路與方法,并且這些方法的側(cè)重點(diǎn)不同,適于針對(duì)不同類(lèi)型的學(xué)生群體進(jìn)行教學(xué),并通過(guò)這些方法的學(xué)習(xí)與掌握,提高對(duì)排列組合相關(guān)知識(shí)的掌握程度。

參考文獻(xiàn):

[1]夏春盛,例談分球入箱問(wèn)題的解法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2006(3).

[2]周勇俊,排列組合中分球入箱問(wèn)題的幾種解法[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2009(4).

作者簡(jiǎn)介:

排列組合例題范文第4篇

【關(guān)鍵詞】排列組合 解題策略

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個(gè)獨(dú)立分支,因?yàn)闃O具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點(diǎn)。有相當(dāng)一部分題目教者很難用比較清晰簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言講給學(xué)生聽(tīng),有的即使教者覺(jué)得講清楚了,但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平,思維能力在一定程度上受到限制,還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)題目一知半解,甚至覺(jué)得“云里霧里”。針對(duì)這一現(xiàn)象,筆者在日常教學(xué)過(guò)程中經(jīng)過(guò)嘗試總結(jié)出一些個(gè)人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合,主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性,那么解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是將抽象問(wèn)題具體化,我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換,讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中,成為“演員”,成為解決問(wèn)題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性,能讓學(xué)生從具體問(wèn)題的分析過(guò)程中得到啟發(fā),逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律,從而做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。當(dāng)然,在具體的教學(xué)過(guò)程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性,可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過(guò)程中的兩個(gè)難點(diǎn)通過(guò)兩個(gè)特例作進(jìn)一步的說(shuō)明:

1.占位子問(wèn)題。例1:將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球放進(jìn)編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子中,要求只有兩個(gè)小球與其所在的盒子編號(hào)相同,問(wèn)有多少種不同的方法?

①仔細(xì)審題。在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號(hào)”著手,清楚這是一個(gè)“排列問(wèn)題”,然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目。在審題的基礎(chǔ)上,為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色,我將題目轉(zhuǎn)換為:讓學(xué)號(hào)為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號(hào)為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準(zhǔn)備好放在講臺(tái)前),要求只有兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同,問(wèn)有多少種不同的坐法?

③解決問(wèn)題。這時(shí)我在選另一名學(xué)生來(lái)安排這5位學(xué)生坐位子(學(xué)生爭(zhēng)著上臺(tái),積極性已經(jīng)得到了極大的提高),班上其他同學(xué)也都積極思考(充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動(dòng)性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時(shí)間,同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同”的兩位同學(xué),有C種方法,讓他們坐到與自己編號(hào)相同的凳子上,然后剩下的三位同學(xué)不坐編號(hào)相同的凳子有2種排法,最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C=20(種)。這樣原題也就得到了解決。

④學(xué)生小結(jié)。接著我讓學(xué)生之間互相討論,根據(jù)自己的分析方法對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題提出一個(gè)好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來(lái))

⑤老師總結(jié)。對(duì)于這一類(lèi)占位子問(wèn)題,關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對(duì)象或者特殊位子入手,再考慮一般對(duì)象,從而最終解決問(wèn)題。

2.分組問(wèn)題。例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個(gè)和2個(gè)數(shù)組成五位數(shù),問(wèn)這樣的五位數(shù)有幾個(gè)?

(本題我是先讓學(xué)生計(jì)算,有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P×P)

①仔細(xì)審題。先由學(xué)生審題,明確組成五位數(shù)是一個(gè)排列問(wèn)題,但是由于這五個(gè)數(shù)來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的組,因此是一個(gè)“分組排列問(wèn)題”,然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目。在學(xué)生充分審題后,我讓學(xué)生自己對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下:從班級(jí)的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)競(jìng)賽,問(wèn)有多少種不同的選法?

③解決問(wèn)題。接著我就讓同學(xué)A來(lái)提出選人的方案同學(xué)A說(shuō):先從第一組的12個(gè)人中選出3人參加其中的3科競(jìng)賽,有P×P種選法;再?gòu)牡诙M的10人中選出2人參加其中2科競(jìng)賽有P×P種選法;最后由乘法原理得出結(jié)論為(P×P)×(P×P)(種)。(這時(shí)同學(xué)B表示反對(duì))

同學(xué)B說(shuō):如果第一組的3個(gè)人先選了3門(mén)科目,那么第二組的2人就沒(méi)有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P×P .(同學(xué)們都表示同意,但是同學(xué)C說(shuō)太蘩)

同學(xué)C說(shuō):可以先分別從兩組中把5個(gè)人選出來(lái),然后將這5個(gè)人在5門(mén)學(xué)科中排列,他列出的計(jì)算式是C×C×P(種)。(再次通過(guò)互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來(lái)C×C×P(種)。

排列組合例題范文第5篇

關(guān)鍵詞:興趣;氣氛;積極性

中圖分類(lèi)號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1003-2851(2010)08-0206-01

在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中,筆者發(fā)現(xiàn)排列組合問(wèn)題一直是影響學(xué)生取得高分的難點(diǎn)之一。排列組合作為高中代數(shù)課本的一個(gè)獨(dú)立分支,因?yàn)闃O具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點(diǎn)。有相當(dāng)一部分題目教者很難用比較清晰簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言講給學(xué)生聽(tīng),有的即使教者覺(jué)得講清楚了,但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平,思維能力在一定程度上受到限制,還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)題目一知半解,甚至覺(jué)得“云里霧里”,影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合,主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性,那么解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是將抽象問(wèn)題具體化,我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換,讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中,成為“演員”,成為解決問(wèn)題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性,能讓學(xué)生從具體問(wèn)題的分析過(guò)程中得到啟發(fā),逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律,從而做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。當(dāng)然,在具體的教學(xué)過(guò)程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性,可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過(guò)程中的兩個(gè)難點(diǎn)通過(guò)兩個(gè)特例作進(jìn)一步的說(shuō)明:1、占位子問(wèn)題例1:將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球放進(jìn)編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子中,要求只有兩個(gè)小球與其所在的盒子編號(hào)相同,問(wèn)有多少種不同的方法?

①仔細(xì)審題:在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號(hào)”著手,清楚這是一個(gè)“排列問(wèn)題”,然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目:在審題的基礎(chǔ)上,為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色,我將題目轉(zhuǎn)換為:讓學(xué)號(hào)為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號(hào)為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準(zhǔn)備好放在講臺(tái)前),要求只有兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同,問(wèn)有多少種不同的坐法?

③解決問(wèn)題:這時(shí)我在選另一名學(xué)生來(lái)安排這5位學(xué)生坐位子(學(xué)生爭(zhēng)著上臺(tái),積極性已經(jīng)得到了極大的提高),班上其他同學(xué)也都積極思考(充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動(dòng)性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時(shí)間,同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同”的兩位同學(xué),有C 種方法,讓他們坐到與自己編號(hào)相同的凳子上,然后剩下的三位同學(xué)不坐編號(hào)相同的凳子有2種排法,最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C =20(種)。這樣原題也就得到了解決。

④學(xué)生小結(jié):接著我讓學(xué)生之間互相討論,根據(jù)自己的分析方法對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題提出一個(gè)好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來(lái))

⑤老師總結(jié):對(duì)于這一類(lèi)占位子問(wèn)題,關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對(duì)象或者特殊位子入手,再考慮一般對(duì)象,從而最終解決問(wèn)題。

2、分組問(wèn)題例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個(gè)和2個(gè)數(shù)組成五位數(shù),問(wèn)這樣的五位數(shù)有幾個(gè)?

(本題我是先讓學(xué)生計(jì)算,有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P ×P )

①仔細(xì)審題:先由學(xué)生審題,明確組成五位數(shù)是一個(gè)排列問(wèn)題,但是由于這五個(gè)數(shù)來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的組,因此是一個(gè)“分組排列問(wèn)題”,然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目:在學(xué)生充分審題后,我讓學(xué)生自己對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下:從班級(jí)的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)競(jìng)賽,問(wèn)有多少種不同的選法?

③解決問(wèn)題:接著我就讓同學(xué)A來(lái)提出選人的方案同學(xué)A說(shuō):先從第一組的12個(gè)人中選出3人參加其中的3科競(jìng)賽,有P ×P 種選法;再?gòu)牡诙M的10人中選出2人參加其中2科競(jìng)賽有P ×P 種選法;最后由乘法原理得出結(jié)論為(P ×P )×(P ×P )(種)。(這時(shí)同學(xué)B表示反對(duì))

同學(xué)B說(shuō):如果第一組的3個(gè)人先選了3門(mén)科目,那么第二組的2人就沒(méi)有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P ×P .(同學(xué)們都表示同意,但是同學(xué)C說(shuō)太蘩)

同學(xué)C說(shuō):可以先分別從兩組中把5個(gè)人選出來(lái),然后將這5個(gè)人在5門(mén)學(xué)科中排列,他列出的計(jì)算式是C ×C ×P (種)。(再次通過(guò)互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來(lái)C ×C ×P (種)。