數感涵義及教育價值
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摘要：數感是人們在數概念擴展中而產生的對數學的一種敏感與一般理解。建立數感有助于提高學生的數學素養，有助于學生對數學知識的自我構建，有助于發展學生的創新精神和實踐能力，有助于提高學生的文化修養。
我國2001年頒發的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《數學課程標準》）在關于學習內容中安排了四個學習領域，指出“課程內容的學習，強調學生的數學活動，發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念，以及應用意識與推理能力”，同時描述了數感的主要表現。在總體目標的具體闡述中，將“建立初步的數感”列入數學思考目標的首項要求，可見，數感已成為我國義務教育階段數學課程中一個全新的重要內容。
什么是數感？數學課程中安排數感有什么教育價值？自然就成為數學教育工作者十分關注的問題。
一、數感的涵義
“數感”的英文是“NumberSense”，也可以翻譯成數覺或數意識。這個在西方數學教育中的常見詞語，首次作為我國數學課程的一項培養目標，為我國當前的數學教育傳達了一種全新的信息。什么是數感？可以從其歷史發展過程中，國內外學者的有關論述中加以考察。
（一）數感是關于數字（量）的直覺
1976年，Carpenter與他的同事分析NAEP數據在估算上的作用之后，得出結論：在學生能很好地進行估算之前，他們一定發展了一種數量的直覺，一種用數字表現量的感覺。[1](34)后來這種關于數量的直覺被稱為數感。
1989年在美國的NCTM中，對數感進行了如下的闡述：“數感是一種關于數字的直覺，它從數字的所有不同的意義的表述得以表現。”[1](34)
（二）數感是關于數概念的網絡結構
1988年，JudithSowder將數感定義為：“一個具有良好組織的概念網格結構，它能夠使一個數字和它相關的操作特性相關聯，并且以靈活而有創造性的方式解決數字問題。”[1](34)這就是說，數感是關于數概念的網絡結構，這個網絡結構是隨著數概念的不斷擴大（自然數小數有理數實數復數）在人腦中逐步形成的，它幫助人腦接納數學中的其他知識，使人開始以數為基礎逐步建構數學知識系統，并且能夠自覺選擇靈活而有創造性的方式解決數字（量）問題。
（三）數感是與數字相關的教育目的的非精確形式
1989年，Resnick用非決定論的、開放式的思考對數感進行了闡述：數感抵抗我們已經在學校教育中所設定的以聯系被指定目的的精確形式。[1](34)即是說，作為一項教育目的，對于設定的與數字相關內容的精確形式而言，數感是相應的非精確形式。然而，當它發生的時候，列出數感的主要特征是相對容易的。（1）數感是非算法。那是因為行動的路徑不被預先完全敘述。（2）數感是合成物。總路徑不是“看得見”（心理上）地來自任何單一觀點。（3）數感包括細微的判斷力和解釋。（4）數感包括多標準的運用，有時各標準之間會彼此沖突。（5）數感時常不確定。不是與任務有關的每件在手邊的事物都是已知的。（6）數感包括思考程序的自我規則。（7）數感思考是需要努力的。
（四）數感是對于數和運算的一般理解
1999年，RobertRey、BarbaraRey等六位學者在對澳大利亞、瑞典、美國以及我國臺灣的8~14歲學生數感的評定研究中提出，數感是指“對于數和運算的一般理解，連同這種能力和傾向一起的是使用這種理解去靈活地作出數學判斷，并且發展有用、有效率的策略去處理具體的數學情境。它導致一種關于使數字變成一種有意義的實體的數字觀點，以及關于數學的操作和成果可以產生感覺的期望。”[1](34)
2001年，《數學課程標準》在關于學習內容的說明中，描述了數感的主要表現：“理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估算運算的結果，并對結果的合理性作出解釋。”這些表現說明，我國數學課程中的數感主要是指對數和運算的一般理解。
2002年，我國學者馬云鵬、史炳星認為：數感是人對數與運算的一般性理解。這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數學判斷和為解決復雜的數學問題作出有用的策略。在中小學數學教學中，發展學生的數感主要是指：使學生具有應用數字表示具體的數據和數量關系的能力；能夠判定不同的算術運算，有能力進行計算，并具有選擇適當的方法（如心算、筆算、使用計算器）實施計算的經驗；能依據數字進行推論，并對數據和推論的精確性和可靠性進行檢驗。建立數感可以理解為會“數學地”思考，這是十分重要的。[2]
2002年，我國臺灣學者DerChingYang關于數感的表述是：“一個人對于數字和運算的一般理解，以及處理日常生活中包括數字情境的一般能力，例如：形成有用的、靈活的和有效的策略（包括心算或估算）去處理數字問題。”[1](34)
（五）數感是對于數字（量）的敏感及鑒別能力
2002年，我國學者鄭毓信認為：為了說明數感，可以先看一些類似詞語的用法，如“語感”“方向感”“美感”“質感”等。顯然，這些詞語都代表了一種相關的能力，但與能力相比，又都含有一種“直感”的涵義，特別是指對于某些特定的事物或現象或屬性或方面的敏感性，及相關的鑒別（鑒賞）能力。而后者通常又并非是一種自覺的過程，仿佛已經成了主體的一種本能，一種直接的“感知”，從而在很多情況下是說不清、道不明的。[3]根據以上描述，數感可以理解為對于數字（量）的敏感及鑒別能力。
（六）數感是數概念擴展中產生的一種對數學的敏感與理解
通過以上對數感的歷史發展中各種定義的考察，筆者認為，數感是人們在數概念的擴展中而產生的對數學的一種敏感與一般理解。
（1）這種敏感與理解是對數字（量）的直覺，它幫助人們對數字（量）的直感迅速地反應為數學問題，使數學問題從感知層面敏捷地鏈接到數學思維。
（2）這種敏感與理解是關于數概念的網絡結構。這個網絡結構幫助人們以數為基礎掌握更多的數學知識，以選擇靈活而有創新的方式解決數量問題。
（3）這種敏感與理解具有非算法、非單一、非確定、非邏輯等特點，其反應時間短，穩定性差，是所需解決的問題與數學思維之間的按鈕，其靈敏度與數概念網絡結構的個性化有關。
二、數感的教育價值
數感的涵義及其特征，決定了數感的教育價值。正是對數感教育價值的認識，美國2000年的NCTM第32頁中強調指出：“這個標準的核心就是發展數感。”《數學課程標準》也首次將數感安排為學習內容，并列為“數學思考”中的重要目標。數學課程中安排數感的教育價值，可以從如下四個方面理解。
（一）建立數感有助于提高學生的數學素養
作為公民素養之一的數學素養，不只是用計算能力的強弱和解決書本問題能力的大小來衡量。學生學會數學地思考問題，具有理解和解釋實際問題的數學敏感，是數學素養的重要標志。即是說，數感的建立是提高學生數學素養的重要標志。
例如，一個小學一年級學生學習了自然數的意義之后，懂得了自然數可以表示物體的個數，當他看見盤子里的蘋果時，不再是注意蘋果的顏色，而是關注蘋果的個數，并且懂得比較兩個盤子中蘋果的多少。于是可以認為這個小學生具有了自然數感，這是他數學素養提高的標志。又如，一個初中畢業生，學了不少數學知識，但不會估計學校運動場的大小，不會用恰當的方式向別人說明自己所在的位置，不能在需要的時候用數學方式解釋某些現象，這樣的學生不能說是具有較高的數學素養。
學生數學素養形成的關鍵是在具體的問題情境中去探索、去發現，學會從現實情境中提出問題，找出數學模型。從一個復雜的情境中發現問題，就需要具備一定的數感。培養學生的數感，讓學生學會數學地思考，有助于提高學生的數學素養，克服數學教育中過分地強調知識與技能訓練、忽視數學與現實的聯系、忽視數學的實際運用等傾向。
（二）建立數感有助于學生對數學知識的自我構建
我們知道，數感是關于數概念的網絡結構，數概念網絡是接受數學知識的一個平臺。數概念網絡結構的形成和穩定是數感建立的關鍵，數感的建立有助于學生對數學知識的自我構建。
例如，學生學習了負數的概念，當他購物支出5元錢時，就會與負數建立聯系──用“-5”來表示這一問題。又如，怎樣為參加學校運動會的全體運動員編號？要求從號碼上就可以分辨出年級和班級，區分出男生和女生，表示出參加的項目類別。這是一個實際問題，它沒有固定的編排方式，而且不同的編排方式在實用性上是不同的。學生對于這一問題有效地解決，也要依托于數感的建立。
（三）建立數感有助于發展學生的創新精神和實踐能力
學生在數感建立的過程中，有很多機會接觸和體驗現實問題，交流自己對有關數的問題的個性化看法，用不同的方式思考和解決同一問題，對原有的數學知識結構進行改造。這無疑有助于發展學生的創新精神和實踐能力。
例如，德國數學家高斯小時候對于“1+2+3+…+100=？”問題的解決，就是一個由數感促進創新的典型案例。又如，池塘水面上生長著浮萍，浮萍所占水面面積每天增加1倍。經過100天，整個池塘長滿了浮萍。問經過多少天，浮萍所占面積是池塘水面面積的一半？從表面上來看，這是一個指數方程的問題。如果學生具有良好的數感，對“浮萍所占水面面積每天增加1倍。經過100天，整個池塘長滿了浮萍”就會產生一種敏感與理解，從而從隱秘形式中發現問題的實質：長滿浮萍的前一天，即經過99天，浮萍所占面積正好是池塘水面面積的一半。
數感是一種對數字（量）的直覺：“拿創造來說，關鍵是直覺……直覺像是思維的‘感覺’；人們通過感官的感覺，只能認識事物的現象，可是用直覺就能夠認識事物的本質和規律性，所以直覺也可以說是思維的洞察力。”[4]具有良好數感的人，就會憑借對數字（量）的本質認識建構自身的數概念網絡，有效地接納數學知識，形成良好的數學意識。在遇到實際問題時，就會靈敏地鏈接數學思維，從而進行數學地思考，創造性地解決實際問題。
（四）建立數感有助于提高學生的文化修養
從數學文化學的觀點來看，數學是一種具有獨特價值的人類文化。數學文化的獨特價值，一是體現在它的兼容性上，即它支撐著科學技術的各個領域，包容著人文精神的方方面面。正如數學家克萊因所說：“音樂激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善生活，但數學卻能提供以上的一切。”數學家在贊美數學時，即使是不同的流派，在這一點上也是異口同聲的。二是體現在它的先進性上。這是由功利和非功利兩個方面的先進性所決定的。當數學與科學技術相結合時，就能轉化為強大的物質力量，創造出新的、先進的社會生產力，這是數學文化價值的功利方面；抽象而具有神秘魅力的數學，同時還蘊涵了高深莫測的哲學、美學、語言學等人文精神，抽象數學中許多沒有直接“用處”的成果，可以提高人的文化修養和文化品格，是人類文化中的無價瑰寶，這是數學文化價值的非功利方面。[5]
數感是數學文化的一個重要成分。建立數感有助于提高學生的文化修養，主要表現為三個方面：第一，數感是人們對數學的一種敏感與理解，是數學（理性）精神形成的基礎；第二，數感是數學思考的催化劑，是思維發展的階段性（精神）成果；第三，數感是一種認知的直覺，是創新精神培養的關鍵。具有良好數感的人，在遇到實際問題時，就會憑借對問題的直覺，觸發創新思維的按鈕，探究問題解決的創造性策略。
參考文獻：
［1］葉蓓蓓.對數感的再認識與思考［J］.數學教育學報，2004，13（2）：34—36.
［2］馬云鵬，史炳星.認識數感與發展數感［J］.數學教育學報，2002，11（2）：46—49.
［3］鄭毓信.“數感”“符號感”與其他──《課程標準》大家談［J］.數學教育學報，2002，11（3）：30—32.
［4］周昌忠.創造心理學［M］.北京：中國青年出版社，1983.
［5］滕發祥.論數學課程獨特的文化教育功能［J］.數學教學通訊，2001，（8）：5—7.
