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一、促進初始學習是成功遷移的首要因素

1.投入足夠的學習時間

數學是一門復雜學科，學習復雜學科需要更多的時間，即使看起來像天才，然而其個人為了拓展數學專業知識和提高數學理解水平也需要投入大量的時間和精力。

新的學習理論明確提出，成功的學習需要時間的大量投入[1]。即使美國人現在也開始認識到，在他們的中小學教育中，要求學生學習投入的時間過少了。但是學習時間和精力的“大量投入”，并不是一味地投入到訓練記憶中，而是把主要時間投入到反思和理解中。成功的學習需要大量的時間，主要原因是要達到理解的水平需要時間。其有兩方面的含義，一是為了深化和貫通新舊意義的聯系，需要一定的時間去摸索與主題相關的具體信息；二是為了使得所獲得的學習經驗達到相當水平的知悉程度，需要一定的時間來深化和強化這些聯系。不同的學生所需要的時間也不同，教師必須對此有充分的認識和思想準備。

學生對一個新的數學對象的初始學習，常常會遇到意義不夠明晰和邏輯聯系比較隱蔽的材料，一開始就要他們從事理解性學習是有困難的，他們需要時間去探究基本概念，生成與自己已有信息的聯系。一下子接觸太多的遠離主題的內容會妨礙學生對新知識意義的建構和隨后的遷移，因為他們缺乏足夠的具體信息使這些原則變得有意義，因為他們對遠離主題的知識同自己已有知識之間的承襲關系和邏輯聯系不能接受，因此學生只能當作孤立的、沒有聯系的事實去學習那些遠離主題的內容。

為學生提供先摸索與主題相關的具體信息（先行組織者）的機會顯得至關重要，這就是在最初創立一個“時機”，讓學生能夠充分知悉、了解、回憶或激活相關信息，使新知識的主題從這些相關的信息中自然流淌出來。研究表明，有這樣的時機要比沒有這些機會的學生的學習更加有效。

為學生提供這樣的時機，包括創設適當情境幫助學生搜索信息、提取信息、加工信息；也包括提供足夠的信息處理時間，學習不能操之過急，信息整合是一個復雜的認識活動，需要足夠的時間。

2.注重理解而不是記憶

初始學習不達到一定理解水平，遷移是不會發生的。這是顯而易見但又經常容易被忽略的事實。剛學完某個新知識就急于去做難題，就屬于這個范疇。這兩個結論對教學而言非常重要，這正是我國中小學普遍存在的問題，常常新授課剛結束，就要求學生解難題，不僅課后作業是難題，而且課堂練習中就開始出現難題，有的題甚至就是升學考試的試題。學生難題解不了，只好用強行記憶來彌補，強記憶弱遷移和強記憶負遷移在所難免。這種現象的結果是被迫機械學習，能力無法提高也就是必然的事情了。

遷移受學習的理解性程度的影響，而非僅靠記憶事實或墨守成規。遷移不能發生的原因在于，對新知識的理解沒有達到一定水平，而僅僅靠記憶。在新知識的初學階段，其意義的建構和獲得還沒有真正完成，按照有意義學習理論，新舊意義之間的聯系有一個繼續同化的過程。在這個過程中，一方面是對意義聯系理解的深化和貫通，另一方面是這種聯系需要一定程度的鞏固和強化，只有當這兩方面達到一定的水平，有意義遷移才可能開始。

3.利用變式把握關鍵特征

適當安排一些反例能幫助學生注意先前沒有注意的新特征，了解哪些特征與某些特定概念相關或無關。恰當的反例不僅可用于知覺學習，還可以用于概念學習。對何時、何地和如何運用所學知識的理解，即知識條件化，可通過“反例”的運用而增強。

數學學習中，學生很容易犯非本質屬性泛化的錯誤，這是非本質屬性負遷移的結果[2]。作為克服這類負遷移的一種有效方法，教學中常常運用反例或辨析題制造認知沖突，以幫助學生把握數學對象的本質屬性。利用反例、辨析題、變式題進行教學都屬于變式教學的范疇。反例的特點是改變對象本質屬性而保持非本質屬性不變，辨析題的特點是改變對象的非本質屬性而保持本質屬性不變，安排變式學習能夠幫助學生把原先所沒有注意的非本質屬性和本質屬性的區別加以澄清，從而盡可能避免非本質屬性泛化的錯誤。變式題的運用在于提高解題學習中遷移能力的培養，這在我國的數學教學中是常用的方法。

二、影響遷移的其他因素

1.學習的情境

成功的遷移受到初始學習情境的影響，學生有可能在一種情境中學習，但卻不能遷移到其他情境中去。實現成功的遷移，取決于知識與情境以怎樣的關系相連，取決于初始學習是如何獲得知識的。

一個數學對象在單一而非復合情境中學習時，情境間的遷移往往相當困難。當學生用學習情境中材料的細節，即過于具體的無關信息，來詳細解釋新材料時，知識尤其容易受情境制約。

當學生在復合情境中抽象出一個數學對象概念的特征時，更可能形成彈性的知識表征。復合的情境指學習情境是趨于本源化、多樣化、綜合化、真實化、情節化的，概念的特征隱藏在眾多干擾因素之中，使得學生必須經過由表及里、去粗取精、去偽存真的過程，才能抽取到對象的本質，建構起對象的意義，這樣不僅獲得了對象的本質特征，而且在“舍棄”的過程中了解對象的非本質特征，認識本質屬性與非本質屬性之間的聯系，從而同時把握對象的本質的和非本質的方面，達到從整體上認識對象意義的作用。這樣形成的將是具有彈性的適應性的認識。

但是過度情境化對知識的理解有弊無利。過度情境化是指情境盡管可能真實，但情節過于復雜具體甚至無關，或者涉及因素過手瑣碎而缺少綜合性。在這種情境中學習，常常造成學生所學知識的彈性缺失，仍然無法把學到的知識靈活地遷移到新的情境。

讓學生解決具體的案例，以及相似的其他案例，目的是幫助他們抽象出導致彈性遷移的一般原理。這是一種多到一的概括和一到多的遷移。實現這樣的概括和遷移，要求提供的刺激材料盡可能的豐富，并能充分突出主題或本質特征。

另一個比較有效的辦法，是讓學生加入到為提高彈性理解而設計的“如果—怎么辦”類的問題解決當中。概括案例，要求學生創造一種不僅能解決單一的問題而且能夠解決整個相關類群問題的方法。

關于對付彈性缺失的3種方法，實際上是提供了提高彈性理解的3種“情境”。遷移彈性的缺失，根本上是學習缺乏“想象力”的結果。遷移本身就是一種“想象”的體現，沒有對不同事物間關系的想象，談何知識或策略的“遷移”？

“如果—怎么辦”類型的問題解決本身，更是地地道道的“想象”的問題，沒有對“如果”可能引出東西的“想象”，如何能找到“怎么辦”？“概括案例”也同樣離不開“想象”，沒有“想象”，哪來“抽象”；沒有“抽象”，又何有“概括”？人失去了想象，知識就會變成教條，智慧就會趨于枯竭。培根說：知識就是力量。愛因斯坦補充說：想象比知識更重要。知識是由想象創造出來的，知識又是由想象激發活化的；知識是由想象推動發展的，知識又是由想象帶向無限的。目前我國大多與教育有關的活動中，最普遍的問題就是缺乏對受教育者想象力的培養，刻板僵化的模式，長官意志的管理，教條化的理念，受教育者不僅缺少想象的空間，甚至連想象的時間也沒有。

2.問題的表征

通過教學幫助學生在更高的抽象層面上表征問題，也可以提高數學遷移能力。

幫助學生在更一般的層面表征所要解決問題，能增加正向遷移的可能性，減少先前解決問題中策略應用不當的負向遷移影響。讓學生在更一般的層面上掌握數學解決問題的策略，就是引導學生學習從問題的原始狀態開始，從無到有地實現問題的解決。這是培養和提高學生解決數學新問題能力的有效途徑。

“在更一般的層面上表征解決問題”[1]的策略，應該包括表征問題和表征解決問題兩個方面的策略。表征問題的策略，應該是指對問題性質、特征和意義做出概括性的理解，著重搞清楚“是什么類型問題”；表征解決問題的策略則是指對解決問題過程中所使用的策略進行抽取、提煉和概括，并且對問題情境、問題條件與問題策略的關系和聯系進行概括和提取。

學習和運用這兩種策略，可以促進對問題本質的認識和理解，達到在更一般的層面上，即從整體上、宏觀上認識和把握問題及解決問題。這是“問題模式識別”的特征識別模式，實際上這是形成一種問題原理，這種問題原理由于具有很高的概括性而大大增強了它的正遷移性，從而反過來促進和加強解決新問題的能力。

學生如果僅僅受到具體問題解題訓練而沒有觸及問題原理，他們雖然也可能很好地完成具體任務，但無法把學到的知識遷移應用到新的問題。接受抽象表征訓練的學生則可以將知識遷移到具有類比關系的新問題上。

什么是“問題原理”？就是“在更一般層面上掌握表征問題的策略”。如果沒有對某個“問題原理”的概念，就不可能把某個問題納入這個問題原理的范疇。數學中應該有多種問題原理，所謂“抽象表征”或者“抽象層面的表征”，就是把問題的認識上升到“問題原理”的水平，才可能在解決新問題的時候，把新問題納入某個問題原理的范疇來解決。所謂“學解題就是學解一類題”，也就是要把學解的題上升為問題原理，這樣學會的就不是具體的一個題，而是屬于一個問題原理范疇的題[3]。

3.學習與遷移條件的關系

遷移體現了學習內容和測試內容之間的一種函數關系。遷移量是在原來學習領域和新領域之間重疊部分的函數。這個重疊部分就是：知識是如何表征的，是如何形成跨領域概念對應的。

知識與任務之間的遷移隨它們所共有的認知要素多少的程度而變化。認知表征和策略就屬于隨任務的不同而變化的“認知要素”。重疊部分就是指“共有認知要素”。認知表征和認知策略被看作“認知要素”。且不同的學習任務有不同的認知要素。但是如何識別不同任務間的“共有的認知要素”，這仍然主要取決于對前面問題表征一段所述的“問題原理”的掌握。同時，這為后面所給出的建立和形成共同的抽象結構的方法提供了依據。

研究表明，大量的遷移發生在表層結構大相徑庭但卻具有共同的抽象結構的對象之間[1]。當不僅要思考陳述性知識而且要考慮程序性知識時。眾多領域的數學能力的遷移常常受同一原理的支配。比如通常所說的受某種數學思想的支配，就是受同一原理的支配。函數的思想、數形結合的思想、分類討論的思想、極限的思想等，都是具有抽象結構的原理。來自于新的學習科學的研究表明，遷移大量地發生在具有共同抽象結構的對象之間，因此，要實現遷移無疑要建立和形成這樣的共同抽象結構。

幫助學生超越具體情境和例證，在抽象層面表征經驗是形成共同抽象結構表征的十分有效的方法。這也是解題反思的原理所在。即在反思的過程中，“超越”“具體情境和例證”，在“抽象層面”上表征“經驗”，而不是“停留”在“具體層面”上，也就是不斷地提高認識水平，不能始終停留在“低層次”認識水平上。這樣，“經驗”才可能得到提升，不斷地從“具體經驗”上升為“抽象經驗”，直至上升為“原理”。

抽象表征并不是保存事件的孤立特點或例證，而是建構包含相關情境和事件成分的更大的圖式。例如，包括類比推理在內的圖式就能夠對復雜思維做出重要的指引：“成功的類比遷移，能導致運用原來解決問題的一般圖式去解決后繼的問題。”這是形成抽象表征的另一種方法。“更大的圖式”即是“認知模塊”或“解題知識塊”。

按照皮亞杰的意思，“圖式”包含一定的活動結構，是行動的結構和組織，具有概括性的特點，可以從一種情境遷移到另一種情境。圖式是在同一活動中各種運用的重復中保持共同認知要素的組織和結構。圖式的種類逐漸增加，其內容也變得更加豐富，從簡單的圖式到復雜的圖式，從內部的行為圖式達到內心的思維模式，從無邏輯的圖式到邏輯的圖式，逐漸形成復雜的認知系統，形成龐大的認知結構。一個人擁有的圖式越多，他所能同化的事物越多，范圍就越大。實際也就是遷移的范圍就越大。

類比推理是數學學習成功遷移的一個有效途徑，而類比推理主要是運用在整體上有某種聯系或相似的對象之間，所謂“共同的認知要素”也是在整體意義上的，不是視覺對象的相同而是“認知要素”相同，是指意義上的、理解上的、策略上的、原理上的，或者說是間接的而不是直接的。

抽象表征是通過多次觀察不同事件的異同而建立起來的。這是形成抽象表征的又一種方法。

具有抽象結構的圖式提高了記憶的提取和遷移能力，因為具有抽象結構的圖式源自于更大范圍的相關例證而非單一的學習經驗。“抽象表征”的建立，就是為了把千差萬別、千變萬化的不同事件既區分又統一起來。通過對許許多多“個別”的異同的分析，概括出“一般”的原理來。“多次觀察不同事件的異同”。在這方面就能達到很好的效果，數學作為抽象的思想材料更是如此。

首先是通過“多次”觀察找出不同對象的“所有的”相同和不同之處，沒有多次觀察往往會遺漏某相同點和不同點，而被遺漏的相同點和不同點，往往是不容易被注意的又恰恰是重要的“關鍵點”，關鍵點總是深藏在最不容易被注意的隱蔽的深處。其次是，對相同點的比較、對不同點比較以及對相同點與不同點之間的比較都要進行多次觀察，才可能識別其中的“共同認知要素”，共同認知要素未必只從相同點中反映出來，較多的情況是在正反兩方面的比較中，更容易把“共同認知要素”識別出來。

4.遷移與元認知

遷移實質上是一個要求學習者積極參與選擇和評估策略、思考資源和接受反饋的過程，也就是把遷移看成一個動態的過程。這種積極的動態遷移觀有別于靜態遷移觀。靜態遷移觀就是認為初始學習后學生即具有解決遷移問題的能力。

較理想的遷移是不需要有任何提示，個人就能自發地遷移合適的知識。但是提示有時是必要的，提示能夠極大地促進遷移。

“遷移量取決于學習或遷移時的注意指向”[1]。“注意誰”對遷移量有決定性作用，是否能識別出“共同的認知要素”，取決于“注意指向”。這正是專家知識的第一特征：能識別新手所注意不到的關鍵信息的信息特征。“注意指向”可能包括兩方面，一是“應該注意情境中的什么對象”，二是“需要具有對信息特征的敏感”。“應該注意情境中的什么對象”，取決于對問題情境的觀察、問題信息的提取、問題性質的辨析、問題原理的洞悉、問題類型的歸屬等多方面的認知因素。教學的觀察中的確能夠發現，學習中不同的人“注意指向”確有不同，這往往是產生學習差異的第一環節。學習遷移有困難的學生往往對學習材料不能抓住重點對象，不能關注重點內容，不能提取關鍵信息，不能把握細節與整體，不能洞察核心思想。

分級提示是幫助不同學生提高遷移水平的靈驗辦法。有些學生在接受一般性提示，如：“你能否想起曾經做過與此相關的事？”遷移便能發生。其他學生卻需要有更加具體的提示。教學實際中，有的學生接受元認知提示就行了，有的學生需要更具體的接近目標的“認知提示”，乃至“直接提示”。分級提示應該說是教學中一種更有效的啟發方法。在啟發性教學中，以分級提問的方式來進行元認知提問效果更好。提問的分級可以根據接近目標的程度決定，提問從抽象到具體，從元認知到認知，所體現的遷移能力是由高水平到低水平的[4]。

教學上采用元認知提示的方法，能促進學生把知識遷移到新情境中，而無需借助明顯的提示。教學中運用元認知提示的方法需要有前提，就是教學必須建立在探索和理解之上，只有以探索方式、建構以理解為目標的教學才可能需要元認知，記憶、模仿、復制、機械訓練，這些都是無須元認知的。

那么，什么是“教學上的元認知提示的方法”？一是新知識的教學中用于啟發的元認知提示語；二是解題學習中用于理解題意、探索解法的元認知提示語；三是用于課堂教學對話的元認知提示語。之所以強調以探索的方式教學，是為了強調“從無到有”的教學過程和教學思想，是為了教會學生如何“從無到有”地思考，是為了教學生學會如何“從無到有”地學習。以探索的方式教學，并非一定要有探究式教學中，也可以在講授式教學中進行[4]。

元認知提示策略有助于學習沿著確定目標，生成新觀點，提煉和細述已有觀點，尋找觀念的銜接，思考與反思活動的途徑進行。當教師淡出時，學生能夠向自己發問自我調節問題。最終是學生要學會使用元認知提示語，當教師淡出時，學生會用元認知提示語引導自己，經過長期使用，使之變為一種潛意識，即在思考問題時，無意識地、自動地運用元認知提示語引導自己的思考。就是讓學生自己學習掌握運用元認知提示語，自覺進行元認知活動。

三、原有經驗影響數學學習的遷移

“所有的學習都涉及到原有經驗的遷移。”[1]這一原理對包括數學教學在內的所有教育實踐都具有重要的意義。需要引起注意的是，有些已有經驗會產生不易覺察的導致學生學習的負遷移影響。由于學習涉及到先前經驗的遷移，所以一個人現有知識也能成為學習新信息的障礙。

對年齡不大的學生來說，早期的數學概念會左右他們學習數學時的注意力和思維。比如，大多數學生在學習算術時都形成了這樣的觀點：數字的基礎是計算原理。數字是一連串要數(shǔ)的東西，加法就是把兩堆東西“合二為一”。這樣的認識在學校教育的初期很見效。然而，一旦學生接觸有理數，他們的這種想法會對他們學習數學新知識產生不利的影響。因為學生無法通過數物生成一個分數，于是早期的數字知識成為后來學習分數的潛在障礙，對許多學生來說確實如此。

可見用“數物”方法學習算術四則運算并不是一個好方法，外國人長期依賴這種方法學習算術，其結果是“數物”成了他們丟不掉的“拐棍”。但是我們的小學數學現在把這種教學方法當作一個寶，甚至到了初中在很多場合還要用這種方法。殊不知數學的每一個內容的學習都要有不同程度抽象層次的提升，沒有這種提升，數學水平停滯不前，數學思維水平也停滯不前。這個實例反映的不是缺少教育教學理念，而是缺少對數學學習的起碼認識。

但是在初中，用一個整式除以另一個整式來定義分式，則是簡單的模仿“分數”概念的建立。分數的定義方法是為了適應初學的幼兒幾乎沒有什么數學概念的特點，而到了初中再停留在這樣的水平就不合適了。分數的定義是一種形式定義，把分式定義為“分母含有未知數的代數表達式”，表面上是“形式定義”，實際上是一種實質性定義。根本在于能反映代數的本質——未知數作為除數參加除法這個代數運算，分式就把未知數參加到除法運算里這個代數的本質特征反映出來了。

實際上，分數作為數的一種符號形式，對分式概念的引入比有潛在意義：一個整數除以另一個整數并不總能除得盡，于是就要引入一種表示“商”的準確值的符號——分數。即，除不盡——干脆把除號改記為分式線，把整個除式的形式地放在那里作為商，這個形式就代表了一個數值。到了代數里，分數的這種形式化思想就可以類比遷移進來，把表示未知數的字母形式的保留在運算式中，于是產生單項式、多項式；整式、分式；冪、根式；方程、不等式等[4]。

四、結束語

數學教學的一個主要目標是為使學生能夠靈活地適應新的問題和情境。

學習情境是促進遷移的一個重要方面。僅在單一的情境中接受的知識與在多樣化情境中學到的。知識相比更不利于彈性遷移。在多樣化的情境中，學生更有可能抽象概念的相關特征，發展更加彈性的知識表征。問題的抽象表征也有利于遷移。

運用元認知提示和分級提示的教學方法可以幫助學生增進理解和遷移。

所有的新學習都涉及遷移。先前的知識可能幫助或妨礙新信息的理解。

【參考文獻】

[1]［美］約翰·布蘭斯福特.人是如何學習的——大腦、心理、經驗及學校[M].上海：華東師范大學出版社，2003

[2]涂榮豹，王光明，寧連華.新編數學教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2006

[3]涂榮豹.數學解題的有意義學習[J].數學教育學報，2002,11(4):16～20

[4]涂榮豹.提高對數學教學的認識[J].中學數學教學參考，2006,(1):5～8