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第九課時

教學目標

（一）教學知識點

1．經歷探索平方差公式的過程．

2．會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算．

（二）能力訓練要求

1．在探索平方差公式的過程中，培養符號感和推理能力．

2．培養學生觀察、歸納、概括的能力．

（三）情感與價值觀要求在計算過程中發現規律，并能用符號表示，從而體會數學的簡捷美．

教學重點

平方差公式的推導和應用．

教學難點

理解平方差公式的結構特征，靈活應用平方差公式．

教學方法

探究與講練相結合．

通過計算發現規律，進一步探索公式的結構特征，在老師的講解和學生的練習中讓學生體會公式實質，學會靈活運用．

教具準備

投影片．

教學過程

Ⅰ．提出問題，創設情境

[師]你能用簡便方法計算下列各題嗎？

（1）2001×1999（2）998×1002

[生甲]直接乘比較復雜，我考慮把它化成整百，整千的運算，從而使運算簡單，2001可以寫成2000+1，1999可以寫成2000-1，那么2001×1999可以看成是多項式的積，根據多項式乘法法則可以很快算出．

[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．

[師]很好，請同學們自己動手運算一下．

[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）

=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）

=20002-1

=4000000-1

=3999999．

（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）

=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2

=10002-22

=1000000-4

=1999996．

[師]2001×1999=20002-12

998×1002=10002-22

它們積的結果都是兩個數的平方差，那么其他滿足這個特點的運算是否也有這個規律呢？我們繼續進行探索．

Ⅱ．導入新課

[師]出示投影片

計算下列多項式的積．

（1）（x+1）（x-1）

（2）（m+2）（m-2）

（3）（2x+1）（2x-1）

（4）（x+5y）（x-5y）

觀察上述算式，你發現什么規律？運算出結果后，你又發現什么規律？再舉兩例驗證你的發現．

（學生討論，教師引導）

[生甲]上面四個算式中每個因式都是兩項．

[生乙]我認為更重要的是它們都是兩個數的和與差的積．例如算式（1）是x與1這兩個數的和與差的積；算式（2）是m與2這兩個數的和與差的積；算式（3）是2x與1這兩個數的和與差的積；算式（4）是x與5y這兩個數的和與差的積．

[師]這個發現很重要，請同學們動筆算一下，相信你還會有更大的發現．

[生]解：（1）（x+1）（x-1）

=x2+x-x-1=x2-12

（2）（m+2）（m-2）

=m2+2m-2m-2×2=m2-22

（3）（2x+1）（2x-1）

=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12

（4）（x+5y）（x-5y）

=x2+5y•x-x•5y-（5y）2

=x2-（5y）2

[生]從剛才的運算我發現：

也就是說，兩個數的和與差的積等于這兩個數的平方差，這和我們前面的簡便運算得出的是同一結果．

[師]能不能再舉例驗證你的發現？

[生]能．例如：

51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．

即（50+1）（50-1）=502-12．

（-a+b）（-a-b）=（-a）•（-a）+（-a）•（-b）+b•（-a）+b•（-b）

=（-a）2-b2=a2-b2

這同樣可以驗證：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．

[師]為什么會是這樣的呢？

[生]因為利用多項式與多項式的乘法法則展開后，中間兩項是同類項，且系數互為相反數，所以和為零，只剩下這兩個數的平方差了．

[師]很好．請用一般形式表示上述規律，并對此規律進行證明．

[生]這個規律用符號表示為：

（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意數，也可以表示任意的單項式、多項式．

利用多項式與多項式的乘法法則可以做如下證明：

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

[師]同學們真不簡單．老師為你們感到驕傲．能不能給我們發現的規律（a+b）（a-b）=a2-b2起一個名字呢？

[生]最終結果是兩個數的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？

[師]有道理．這就是我們探究得到的“平方差公式”，請同學們分別用文字語言和符號語言敘述這個公式．

（出示投影）

兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．

即：（a+b）（a-b）=a2-b2

平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，用它直接運算會很簡便，但必須注意符合公式的結構特征才能應用．

在應用中體會公式特征，感受平方差公式給運算帶來的方便，從而靈活運用平方差公式進行計算

（出示投影片）

例1：運用平方差公式計算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）

（3）（-x+2y）（-x-2y）

例2：計算：

（1）102×98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

[師生共析]運用平方差公式時要注意公式的結構特征，學會對號入座．

在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．

即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22

（a+b）（a-b）=a2-b2

同樣的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡單的轉化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）應先作如下轉化：

（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．

如果轉化后還不能符合公式特征，則應考慮多項式的乘法法則．

（作如上分析后，學生可以自己完成兩個例題．也可以通過學生的板演進行評析達到鞏固和深化的目的）

[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．

（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．

（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．

[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）

=1002-22=10000-4=9996．

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

=y2-22-（y2+5y-y-5）

=y2-4-y2-4y+5

=-4y+1．

[師]我們能不能總結一下利用平方差公式應注意什么？

[生]我覺得應注意以下幾點：

（1）公式中的字母a、b可以表示數，也可以是表示數的單項式、多項式即整式．

（2）要符合公式的結構特征才能運用平方差公式．

（3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應用公式，但通過加法或乘法的交換律、結合律適當變形實質上能應用公式．

[生]運算的最后結果應該是最簡才行．

[師]同學們總結得很好．下面請同學們完成一組闖關練習．優勝組選派一名代表做總結發言．

Ⅲ．隨堂練習

出示投影片：

計算：

（1）（a+b）（-b+a）

（2）（-a-b）（a-b）

（3）（3a+2b）（3a-2b）

（4）（a5-b2）（a5+b2）

（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）

（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2．

（2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2．

（3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2．

（4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4．

（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2

=（a+2b）（a+2b）-4c2

=a2+a•2b+2b•a+（2b）2-4c2

=a2+4ab+4b2-4c2

（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

=（a2-b2）（a2+b2）

=（a2）2-（b2）2=a4-b4．

優勝組總結發言：

這些運算都可以通過變形后利用平方差公式．其中變形的形式有：位置變形；符號變形；系數變形；指數變形；項數變形；連用公式．關鍵還是在于理解公式特征，學會對號入座，有整體思想．

Ⅳ．課時小結

通過本節學習我們掌握了如下知識．

（1）平方差公式

兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差．這個公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．

（2）公式的結構特征

①公式的字母a、b可以表示數，也可以表示單項式、多項式；

②要符合公式的結構特征才能運用平方差公式；

③有些式子表面上不能應用公式，但通過適當變形實質上能應用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．

Ⅴ．課后作業

1．課本P179練習1、2．

2．課本P182～P183習題15．3─1題．

Ⅵ．活動與探究

1．計算：1234567892-123456788×123456790

2．解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）（x+）=2．

過程：

1．看似數字很大，但觀察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化簡計算．

2．方程中含有多項式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化簡．

結果：

1．1234567892-123456788×123456790

=1234567892-（123456789-1）（123456789+1）

=1234567892-（1234567892-1）

=1234567892-1234567892+1

=1．

2．原方程可化為：

5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（）2]=2

∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2

即5x+54x2-24-54x2+6=2

移項合并同類項得5x=20

∴x=4．

板書設計

備課資料

[例1]利用平方差公式計算：

（1）（a+3）（a-3）（a2+9）；

（2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）．

分析：（1）（a+3）（a-3）適合平方差公式的形式，應先計算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）適合平方差公式的形式，應先計算（2x-1）×（2x+1）

解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9）

=（a2）2-92=a4-81；

（2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1）

=[（2x）2-12]（4x2+1）

=（4x2-1）（4x2+1）

=（4x2）2-1=16x4-1．

方法總結：觀察、發現哪兩個多項式符合平方差公式的結構特征，符合公式結構特征的先算．這是這類試題的計算原則．

[例2]計算：

（1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12；

（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．

分析：直接計算顯然太復雜，不難發現每兩個項正好是平方相減的形式．于是便考慮能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去計算．事實上，這是可行的．

解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12）

=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+…+2+1

=（100+1）+（99+2）+…+（51+50）

=50×101=5050；

（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．

=（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）（1+）（1-）

=××××××…××××

＝×=．

方法總結：逆用平方差公式產生了很好的效果。相信你也會運用．