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四則運算法則范文第1篇

關鍵詞：德育課程;四則運算;課程資源;課程作用;課程任務

作者簡介：孔祥淵，北京師范大學教育學部，博士研究生

當前，德育課程存在著實效性低下、利用開發不足等問題。探究起來，我們未能全面、靈活地處理德育課程，肯定是重要原因之一。本文借用四則運算的形式，試對德育課程恰當處理加以探討。

一、加法：課程要素的不斷完善

德育課程中的加法，顧名思義，是指我們需要向德育課程中添加一些要素。社會始終處于不斷發展變化過程中，作為社會子系統的教育以及作為社會“法定文化”的課程，必然需要對社會的發展做出反應。對德育課程而言，我們需要讓學生了解一些新的道德知識與道德觀念。這意味著在德育課程中，我們首先要添加的是一些知識性的內容。例如，我們需將不斷產生的新的道德知識加入到已有課程之中，或者發展、建構一門嶄新的德育課程。當前，我們在這個方面已經取得了一定的成績。但需要注意的是，加法不僅僅意味著知識性內容的添加，還意味著價值性與專業性的增強，而后者是更為根本、更為重要的。

德育課程需要受到價值性考量。對學生進行價值性引導是德育課程的重要任務之一。完成這一任務的重要前提就是德育課程本身的價值性。首先，是知識的選擇方面。“不僅所有的知識都是受著價值引導的，而且所有知識本身是體現一定的價值要求的。”[1]對知識進行選擇，指的是我們需要保證德育課程中所呈現的知識是符合社會基本價值取向的、積極向上的。其次，是課程的應用價值方面。在這個方面，我們需要考量的是課程的情境價值。課程有無價值，在一定程度上是由其所應用的領域決定的。例如，對于官員而言，廉政課程具有一定的價值。但是，當我們把廉政課程放到學校中，對學生進行廉政教育時，這一課程的價值就會變弱。對課程的應用價值進行考量，目的是保證學生在固定的時間里得到最適合的德育內容。最后，是課程的實施方面。當前，德育課程較為強調活動性、娛樂性等因素。這么做，在產生許多積極影響的同時也可能帶來一些消極的后果。正如檀傳寶老師指出的那樣：如果處理不慎，“一個可怕的結果必然是，孩子什么都學到了，就是沒有學到本該學到的最重要的東西――‘德’”[2]。因而，我們需要增強德育課程的價值性，通過價值性的考量保證德育內容及其應用、實施方面的價值性。

德育課程還需要得到專業性審視。德育課程具有自身的專業性，因而其不能僅僅受到價值性考量，還需要得到專業性審視。根據檀傳寶老師《再論“教師德育專業化”》所說，一般情況下，德育課程的專業性可以分為兩個方面：一是德育學科的專業性，一是教育學的專業性。相應地，我們對德育課程的專業性審視也應分為兩個方面：在德育學科的專業性方面，我們需要審視構成德育課程的知識是否符合相關學科的專業性要求以及實施德育課程的教師是否具有相關學科的專業知識;在教育學的專業性方面，我們需要了解課程知識的組織與呈現是否符合教育學、心理學相關理論的要求，同時，作為課程實施者的教師，是否具有相應的教育學、心理學知識與技能。

總而言之，德育課程的加法，指的是我們需要不斷地向德育課程中增加各種相關知識、價值性與專業性。

二、減法：課程資源的優化處理

德育課程中的減法，主要目的是使德育課程得到精簡。之所以要在德育課程中做減法，其原因有二：第一，單純的加法會給德育甚至教育帶來諸多消極影響。當前，許多教育內容都以“德育”的名義進入校園，成為學生的學習內容。在這種情況下，德育成為裝各種東西的“筐”。一方面，它影響了德育的專業性與邊界，讓人們對德育質疑，造成了德育的低效甚至無效;另一方面，它在壓縮真正德育時間的同時，也不斷侵占著整個教育教學的時間，影響了正常的教育教學。第二，從長遠來看，德育課程中的加法不可能一直持續下去。眾所周知，教育中的時間是有限的。因此，德育內容必須保持在一定的限度之內。否則，單純的加法不僅會影響德育的開展，甚至還會對整個教育造成顛覆性的破壞。基于上述兩點考慮，筆者認為，德育課程中的加法是必要的，減法也是不可或缺的。

在德育課程中做減法，簡單地說，就是將現有的課程資源進行優化處理。根據課程的邊界，德育課程資源的優化處理可以分為兩個方面：一是德育課程內部資源的優化處理，二是各個課程中德育資源的優化處理。

優化處理德育課程內部的資源，指的是對現有的德育課程進行精簡與綜合。這主要有兩種方式：第一，精簡甚至是刪減一些課程內容。隨著社會的發展變化，一些課程內容逐漸不符合社會現實狀況。對于這部分內容，我們需要對其進行重新梳理，根據社會的發展狀況對其進行精簡甚至是刪減。第二，整合德育課程內容。一般情況下，德育課程的編寫會考慮知識的系統性、結構性以及整個課程的邏輯性。在這種情況下，德育課程的部分內容有時會陷入繁雜與冗余之中。這就需要我們對課程內容進行整合。例如，在上課的過程中，我們可以在一定程度上打破教材前后順序以及邏輯結構的束縛，以問題為出發點，將課程內容進行分析與綜合，從而實現課程內部資源的整合。

優化各個課程中的德育資源，則意味著我們要注意到各個課程之間的聯系性，并且充分利用各個課程的優勢，吸取各課程中有益的資源開展德育工作。在這個方面，我們可以采取專題德育或者主題德育的形式，綜合利用各個課程中的德育資源。例如，當我們對學生進行誠信教育時，我們不僅可以利用德育課中的相關誠信知識，還可以利用歷史課中的誠信故事、語文課中有關誠信的詩詞文章，甚至物理、化學課中一些科學家誠信的事例搭建一個綜合的教育體系，對學生進行誠信方面的教育與指導。

由上面的論述可知，德育課程中的減法，實質上就在于通過精簡、刪減或者整合課程資源，減少特定教學內容所需要的教學時間，從而達到節省整個教育教學時間以及師生精力的目的。

三、乘法：課程作用的多種發掘

眾所周知，乘法是加法的一種變形，其在一定程度上方便了計算。在德育課程中做的乘法，在某種程度上也是加法的變形。只不過，這種變形并不是簡單的添加，而是對于課程作用的多種挖掘。換言之，我們需要充分開發課程的多重作用與道德意蘊。在這個方面，主要有兩種方式：一是運用多種教育方式，充分發揮課程內容的德育作用;二是深入開發課程，充分挖掘課程內容的德育內涵。

課程作用的發揮，不僅僅受制于自身，在很大程度上還受到教育方式的影響。換言之，對于一種課程內容，我們運用的教育方式愈多，其可能發揮的作用也就愈多。“孔融讓梨”的故事就是一個明顯的例子。一般情況下，我們給學生講解這個故事時，主要讓學生了解“謙讓”。換言之，在講述故事的過程中，我們給予學生的基本上是有關“謙讓”的知識。之所以如此，與我們僅僅使用講述法密切相關。當我們增加教育方法，例如，使用討論法、角色扮演法時，我們就可以充分挖掘學生的道德情感，鞏固其正確的道德情感。并且，在這一過程中，促進學生道德行為的發展。由此可以看出，通過運用多種教育方式，我們可以發揮課程內容的多重德育作用，促進學生道德知、情、意、行多個方面的發展。

在德育課程中做乘法，除了使用多種方式發揮課程的多重作用之外，我們還可以通過挖掘課程內容的多重意義予以實現。一般情況下，一個課程內容具有多重教育意義，可是我們經常習慣于使用其常規含義，而忽略其他較為豐富的意義。例如，我們在講解“狼來了”故事時，一般以故事中放羊的孩子為重點，告誡學生們“誠實”的重要性。這種思維有著悠久的歷史，以至于當我們講起這個故事的時候，習慣性地認為這個故事僅僅是告訴我們“誠實”的有關道理。可是，當我們將視角轉換一下，把故事中的主人公換成那些前來幫助的人時，我們會發現這個故事也傳達了另外一種道德品質：助人為樂。因此，我們在對學生講解這個故事的時候，不僅要告訴他們“誠實”的重要性，還要讓他們知道“助人為樂”的價值觀念。

綜上可見，一個看似簡單的課程實質上有著多重德育作用與意蘊。因而，我們需要秉持“一課多用”的思想觀念，促使課程內容產生疊加效應。

四、除法：課程任務的多元分配

在德育課程中做除法，我們的目的并不是將德育任務平均的分為多個部分，而是將德育任務進行多元分配，充分調動各個方面的積極性開展德育工作。正如許多研究者指出的那樣：德育并不僅僅是某一個特定機構（如德育處）或者一個特定群體（如班主任）的事情，而是需要發揮學校所有人員的積極性。與此類似，承擔德育任務的課程不僅限于德育課程，而是涉及諸多課程。具體言之，從課程的專屬性上看，除專門的德育課程外，其他學科課程也負有對學生進行德育的任務。從課程的類型上看，在學科課程之外，學校里的其他課程形式（如活動課程）也具有一定的德育意義與功能。對于專門德育課程的任務，人們一般都易于了解。因此，我們主要從一般學科課程與活動課程出發，對德育課程中的除法進行分析。

第一，我們需要將德育任務分配到各個學科之中。這么做，并不是讓各個學科的教師都對學生耳提面命，開展德育工作;而是讓學科教師充分利用學科課程中的隱性課程，影響學生的道德發展。所謂隱性課程，一般指課程計劃上沒有明確規定卻又對學生發揮著影響、未被人（有時特指學生）意識到的課程。隱性課程在發揮作用時具有“潤物細無聲”的特征，容易為學生所接受。學科教師在教育學生時，應該挖掘學科中的德育資源，并做到引而不發。例如，在物理、化學等課上，教師除了傳授學科知識外，還可以介紹一些科學家，并對其賦予“勤奮”“踏實”“誠信”等特征，但是不對學生進行這個方面的直接教育，而是將這些品質在無形中傳遞給學生。

實際上，德育任務的學科分配，最為重要的就是分配給各位學科教師，充分調動其積極性。在某種程度上，教師自身可以說是學校中最大的隱性課程資源。從范圍上講，教師基本上貫穿于學生學校生活的整個過程。從效果上看，“教師的身教是一種自然而然的身教，對學生的品德可以起到潛移默化的作用”[3]，因此是較為有效的。

由上可知，將德育任務分配給學科教師，就是充分發揮學科課程與教師自身作為隱性課程的作用。

第二，我們需要賦予活動課程一定的德育任務。活動課程著眼于學生的活動與直接經驗。因此，活動課程在德育方面最大的優勢就是將德育知識“活化”，促進個體道德行為的出現與訓練。基于此，我們分配德育任務時，應該將一些道德行為型、活動型任務分配到活動課程中，促進學生道德行為的成長。

德育課程中的四則運算，實質上是全面、靈活課程觀念的一種反映。全面性是指課程本身、課程內容的作用與意蘊、課程的分布是較為全面的、整體的，靈活性則意味著課程作用的發揮因環境、時間、作用方式而異。因此，我們要因時制宜、因地制宜，充分發揮課程的作用。另外，在課程中做四則運算時，我們也需全面、靈活發揮德育課程的相關作用。因此，我們要了解并學會德育課程中的四則運算。

參考文獻：

[1]石中英.知識轉型與教育改革[M].北京：教育科學出版社，2001：157.

四則運算法則范文第2篇

〔中圖分類號〕 G633.6　〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2012）14—0086—02

極限作為一種數學思想，其發展經歷了思想萌芽、理論發展和理論完善這三個過程，它的形成為人類認識無限提供了強有力的工具，是近現代數學的一種重要思想方法.極限在高中數學里已有所涉及，是學習的難點之一，而求解極限是學習極限問題的基礎，因此掌握求解極限的各種方法顯得非常重要.本文就極限的各種求解方法進行了總結和分析.

1. 幾種常用的極限求解方法

（1）利用四則運算法則求極限

對和、差、積、商形式的函數求極限，經常使用四則運算法則：

（an±bn）=an±bn；(an×bn )=an×bn；=（bn≠0）.

但在使用此法則時，往往需要對函數進行恒等變形（常見的變形有：約分、通分、分式的分解、分子和分母有理化、三角函數的恒等變換等）.

（2）利用等價無窮小求極限

等價量代換是求解極限問題常用方法之一，解題時要注意使用無窮小量進行替換.在具體求極限過程中，要遵循以下等價無窮小替換原則：對函數的因子可進行等價無窮小替換，該因子首先必須是無窮小量.下面列出幾個常用的無窮小量等價替換：

當x0時，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x2；ex-1～x；ln（1+x）～x；-1～x

（3）利用兩個重要極限求極限

兩個重要極限分別是①=1；②(1+)x=e.

其中第一個重要極限=1可理解為==1，第二個極限(1+)x=e可以理解為

(1+）y=e或者（1+y）=e.這兩個重要極限是求極限的一種重要手段，要根據題目中給出的條件靈活選擇適當的形式，使運算更加簡潔.

（4）利用洛比達法則求極限

假設當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數f(x)和ɡ(x)滿足：

i) f(x)和ɡ(x)的極限都是0或都是無窮大

ii) f(x)和ɡ(x)都可導，且ɡ(x)導數不為0

iii) 存在（或是無窮大）

則極限也一定存在，且有=，此稱為洛必達法則.

洛必達法則是處理()型或()型的未定式極限的重要方法，在具體求解中，如果利用洛必達法則處理的結果還是()型或()型的，則可繼續利用洛必達法則去化簡，直到化為最簡為止.

（5） 利用函數的連續性求極限

由函數f(x)在x0點連續的定義知f(x)=f(x0)，由于初等函數在定義區間內處處連續，所以求初等函數在定義區間內任意點處的極限值，實質上就是求函數在該點處的函數值，因此利用函數的連續性求極限就是代入f(x)=f(x0)進行計算.

2. 幾種特殊的極限求解方法

（1）變“無限多個”為“有限多個”求極限

利用極限的四則運算法則求極限，不僅要求每個函數的極限存在，而且只能是有限多個函數的和、差、積.若是求“無限多個”函數極限，用恒等變換將“無限多個”函數的和、差、積變為“有限多個”函數的和、差、積后，再利用四則運算法則求出極限.

例1　求(1+a+a2+a3+……+an)(0

分析: 本題為“無限多個”函數之和的極限，它們構成等比數列，用等比數列求和公式便可將“無限多個”函數之和變為“有限多個”函數，再用四則運算法則便可求得結果.

解：原式==（其中an+1=0，0

（2）利用泰勒展開式求極限

利用泰勒公式求極限一般是用麥克勞林公式的形式，并采用皮亞諾型余項.當函數為分式時，一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式，再通過比較求出極限.

例2　求.

解：由cosx=1- ++o(x5)，=1-++o(x5)，則cosx-=-+o(x5)，

四則運算法則范文第3篇

[關鍵詞]小學數學 四則運算 常見錯誤 解題方法

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）32-062

一、運算順序錯誤

學生都能記住運算法則，但在實際運用時卻會受到理解能力的影響，導致出錯率較高。

又如，計算“8+3×（9.5-0.5×5）”時，很多學生會寫成“8+3×（9×5）”，得到錯誤的結果。對于這個題目，教師要盡力幫助學生避免定式思維，不讓他們隨意湊整數而顛倒了運算的順序。

為此，教師在平時的教學中，應該經常提醒學生：題目中有哪些類型的運算？根據運算法則應該先算什么，再算什么？從而提高學生計算的正確率。

二、亂用運算律

對于加法交換律和結合律，乘法交換律、結合律和分配律等，應避免學生濫用和錯用。

教師應該讓學生明確四則運算的運算律只有所學過的這幾種，不能隨意編造，還要鼓勵學生養成驗算的好習慣，提高運算結果的準確度。

三、點錯小數點

在列豎式的四則運算中，學生因為點錯小數點而導致的錯誤較多，嚴重影響了計算的正確率。

例如，對于題目“4.8×9.6-34.5÷4.6”，學生會寫錯成：

4.8×9.6-34.5÷4.6

=460.8-0.75

=460.05

正確的計算過程為

4.8×9.6-34.5÷4.6

=46.08-7.5

=38.58

不難發現，由于計算“4.8×9.6”時小數點點錯了，導致結果擴大了十倍，而在計算“34.5÷4.6”時，把4.6擴大十倍變成了46，而沒有把被除數34.5進行相應的轉化，所以得出的商也是錯誤的。

為避免類似錯誤的再次出現，教師應該加強小數乘法中小數點位數和除法計算時小數與整數之間的轉化的教學。

四、漏抄漏算某數

學生注意力不集中、思維不活躍等，也容易導致他們在計算時漏抄漏算，最終計算錯誤。

例如，計算“18÷2+12-9”時，有的學生雖然得出了正確的答案，但是計算過程存在問題，即“18÷2+12-9=9+12=21-9=12”，有遺漏的情況。而在面對計算題“0.6×0.83+0.6×0.17+0.6”時，很多學生受到自身思維的限制，在計算的過程中會出現顧此失彼的情況，即“0.6×0.83+0.6×0.17+0.6=0.6×（0.83+0.17）=0.6”，忽略了0.6本身是0.6與1的乘積。

為此，教師應該根據不同學生出現的不同問題辨證施治，對于解題步驟存在問題的學生，鼓勵他們多看課本上的例題，每一字每一步都按照課本上的范例操作；對于思維固化的學生，則培養他們的發散性思維，引導他們把題目看全面，可安排小組合作探究式學習；對于經常看錯題目的學生，教師則應從培養學生的耐心和細心程度入手。

四則運算法則范文第4篇

關鍵詞：數學分析；函數極限；計算

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）33-0097-03

極限是數學分析課程中最重要、最基本的概念之一.極限思想貫穿數學分析課程內容的始終，極限計算是數學分析課程中的一個重要內容.極限計算的方法分布在數學分析課程的不同章節，學生不能很好地系統地掌握極限計算的方法。對此筆者根據自己多年的教學在這方面進行一些總結，對數學分析中的極限計算方法進行系統的分析探討，讓學生掌握極限計算的各種方法，開拓學生視野，培養學生的綜合解題能力。

一、極限計算的基本方法

1.利用極限的四則運算法則計算極限。利用極限的四則運算法則求極限是最基本、最直接的方法，但必需注意適用的條件極限.有時可以直接利用極限的四則運算法則即能計算，有時可能無法直接利用極限的四則運算法則進行計算，這就要求我們對所給的對象進行化簡、變形處理，然后再利用四則運算法來計算。

2.利用兩邊夾定理計算極限。利用兩邊夾定理可將考慮的對象進行適當縮小和放大，從而得到原對象的極限。

3.利用單調有界準則計算極限。這種方法適用于求數列的極限，應用單調有界準則計算數列的極限時，首先可用數學歸納法或不等式的放縮法來討論數列{xn}的單調性和有界性，然后再令■xn=a，然后解關于a的方程，從而求得出■xn=a.

4.利用兩個重要極限計算極限。利用兩個重要極限計算極限關鍵在于將考慮對象化成滿足重要極限條件的形式.

5.利用洛必達法則計算極限。這種方法適用求未定式■型和■型的極限計算，其他的未定式極限都需先化為■型或■型后再求極限，但要注意這種方法只適用于導數存在的形式。

6.利用函數的連續性計算極限。因為一切初等函數在其定義區間內都是連續的，所以如果f（x）是初等函數，且x0是f（x）的定義區間內的點，則■f（x）=f（x0），從而計算極限就等于計算該點處的函數值。以上方法是計算極限的基本方法，作為大學數學專業的學生是必須熟練掌握的。

二、極限計算的一些特殊方法

1.利用左右極限計算極限。函數f（x）在x0處極限存在的充要條件是在該點處它的左極限及右極限都存在且相等，且■f（x）=■f（x）=■f（x）.這種方法對分段函數求極限問題應用尤為重要，它是計算分段函數求極限問題的有力工具。

例1.已知f（x）=2xx＞00 x=01+x2x＜0，求■f（x）.分析：由于f（x）是分階函數，計算f（x）在分階點處的極限只能通過計算該點處它的左極限及右極限得到■f（x）.而■f（x）=■2x=1，■f（x）=■（1+x2）=1，于是■f（x）=1.

2.利用無窮小的性質計算極限。

例2.求■（x2+y2）sin■=0.分析：由于x2+y2在（x，y）（0，0）時是無窮小，sin■≤1是有界量，于是得到 ■（x2+y2）sin■=0.

3.利用等價無窮小計算極限。利用等價無窮小代換求函數的極限時，一般只在以乘除形式出現時使用，同時還應該熟悉一些常用的等價無窮小。

例3.計算■■.分析：由于■-1：■（x0），1-cosx：■（x0），于是■■=■■=1.

4.利用導數定義計算極限。由于f'（x）=■■，從而可以利用導數定義計算極限。

例4.證明：若f'（x0）存在，則■■=2f'（x0）.分析：將題中極限表達式變形為導數定義中的極限形式表示即可證明。

5.利用定積分定義求極限。由于■f（x）dx=■■f（ξi）Δxi，因而可把黎曼和■f（ξi）Δxi的極限轉化為定積分■f（x）dx，轉化過程掌握好兩個關鍵：一是由f（ξi）確定被積函數f（x），二是由Δxi確定積分區間［a，b］.當在定積分存在的前提下，我們選取區間［a，b］某種特殊的分割T和區間［a，b］一個特殊的點集{ξi}，可以得到一類特殊的和式的極限，從而可以利用定積分解決此類函數極限的求值，即當所求極限的表達式或經過變換后的表達式是一個 n項和的形式時，可以考慮用定積分定義來計算， 其關鍵在于把和式寫成積分和的形式。

例5.求■■sin■+sin■+…+sin■π.分析： 對所求極限進行變形：■■sin■+sin■+…+sin■π=■■■sin=■g■.其中的和式是f（x）=sinx在［0，π］區間上的一個積分和.這里所取的是等分分割。Δxi=■，ξi=■為小區間 ［xi-1，xi］=■，■的左端點，i=1，2，…，n.于是■■sin■+sin■+…+sin■π=■■sinxdx=■（-cosx）π0=■.

6.利用級數收斂的必要條件計算極限。利用級數收斂的必要條件：若■un收斂，則■un=0.運用這個方法首先判定級數收斂，然后求出它的通項的極限。

例6.求■■.分析：設un=■，由比值判別法知■un收斂，這樣就得到了■■=0.

7.利用微分中值定理或積分中值定理計算極限。

例7.求■■sinnxdx.分析：由于sinnx在0，■滿足積分中值定理的條件，從而在0，■至少存在一點ξ使得■sinnxdx=sinnξ■-0=■sinnξ，于是■■sinnxdx=■■sinnξ=0.

8.利用麥克勞林展開式或泰勒展開式計算極限。設函數f（x）在x=0的某個鄰域內有定義且f（n）（0）存在，則f（x）的具有皮亞諾余項的麥克勞林展展開式為f（x）=f（0）+f'（0）x+■x2+…+■xn+0（xn），對某些較復雜的求極限問題，可以利用基本初等函數帶皮亞諾型余項的泰勒公式來求極限。

例8.計算■■.分析：利用基本初等函數帶皮亞諾型余項的泰勒公式得到cosx=1-■+■+0（x4），e■=1+-■+■+0（x4）.于是將上兩式代入所求極限即得■■=-■.

9.利用級數的和函數計算極限。計算此類極限時常可以輔的構造一個函數項級數使得要求的極限恰好是該函數項級數的和函數在某點的值。

例9.計算■■（-1）n■x2n+1.分析：設S（x）■（-1）n■x2n+1，從而只要計算出S（x）即能計算所求的極限。利用函數項級數和函的分析性質容易計算出S（x）=arctanx，x∈［-1，1］，于是得到：■■（-1）n■x2n+1=■arctanx=■.

以上歸納了數學分析課程中計算極限的一些方法，當然還有一些其他的計算方法.在講授完數學分析的課程之后，教師如果能系統地對極限計算方法進行總結，并適當布置一定的數量的課外習題讓學生去做，要求學生根據題目的不同靈活選擇適當的方法，一定起到事半功倍的效果，那么學生對有關極限的計算就比較容易解決了，從而培養提高學生分析和解決問題的能力。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上、下冊）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]錢吉林.數學分析題解精粹[M].湖北：崇文書局，2003.

[3]常敏慧，楊建雅.新建本科院校數學分析習題課教學模式探討[J].運城學院學報，2010，28（2）.

[4]楊澤恒.數學分析課程極限理論教學的一些實踐與思考[J].大理學院學報，2007，（6）.

基金項目：本文由國家自然科學基金項目（11161018）和廣西教育廳科研項目（201010LX463、201106LX589）資助

四則運算法則范文第5篇

關鍵詞：原函數；不定積分；第一類換元；第二類換元；三角代換；根式代換；分部積分

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2015）13-0178-02

在高等數學課程中，不定積分是較難的部分，它作為微分的逆運算，比求極限、判斷連續、求微分（或求導）要難很多。首先，求極限、判斷連續、求微分（或求導）部分都有相應的四則運算法則、復合函數的法則，對基本初等函數都有很明確的結論，甚至對高等數學課程的主要研究對象――初等函數都有一套明確的處理套路，主要依據就是相應部分的四則運算法則、復合函數的法則和對基本初等函數的明確結論。但對不定積分，我們僅有四則運算法則的一部分，即加減部分：代數和的積分等于積分的代數和。沒有對應的乘積和商的積分性質，也沒有復合函數的積分性質。即便對基本初等函數，我們也不能簡單地推出它們的積分公式。除了常函數、冪函數、指數函數和一部分三角函數（包括正余弦函數）以外，剩下的基本初等函數的積分公式均是通過湊微分和分部積分的高等積分技巧推出的。對于一般的初等函數，相對統一的結論主要有兩個：（1）連續函數都存在原函數，即初等函數在定義區間內存在原函數，（2）基本初等函數、有理函數、三角有理函數以及所有能轉化成上述函數的初等函數一定可以積出來。至于如何求一般的初等函數的原函數或不定積分，則沒有統一的套路。只能總結出幾類典型的形式積分法，主要包括：第一類換元、第二類換元法、分部積分法、有理函數的積分。這些技巧適用于不同類的被積函數，學生學習時面對不同的被積函數，如何正確選擇適當的積分法是關鍵，也是難點。因此，教師在教學和考試中，選擇恰當的例子是十分關鍵的。例子要具有典型的特點，盡量可以一題多解，啟發學生的發散思維。

下面，本文來介紹一個例子，這個例子有多種解法，這些解法中融合了第一類換元法（也稱湊微分法）、第二類換元法（包括三角代換、根式代換和非典型代換）、分部積分等典型的形式積分法，充分體現了這些積分法的綜合應用，是一個很具有啟發性的例子。

例 dx.

法一：此法利用了第一類換元法。

解：原式=- dx+ dx

=- d（2x-x ）+ dx

=- +arcsin（x-1）+C

法二：此法利用了第二類換元法中的根式代換。

解：設 =t則x=1+ ，dx= dt，（x=1- 時類似，略）此時

dx=- dt=- dt- 1dt=-arcsint-t+C=-arcsin - +C

法三：此法利用了第二類換元法中的根式代換。

解：設2x-x =t，則x=1+ ，dx=- dt，（x=1- 時類似，略）

dx=- dt

=- dt- dt

=- d（ ）- =-arcsin - +C

=-arcsin - +C

法四：此法綜合利用了第二類換元法中的根式代換和三角代換的思想。

解： dx= dx

設 = sint，t∈[0， ），則x=2sin t，dx=4sin t cos t dt，此時

dx=4 sin t dt =2 1-cos 2t dt=2（t- sin 2t）+C=2t-2sin t cos t+C=2arcsin - +C（利用sin t= ，cos t= 回代得）

法五：此法利用了第二類換元法中的根式代換和分部積分法的循環型。

解： dx= dx

設 =t，則x=t ，dx=2t dt ，此時

dx= dt

=-2 dt+4 dt

=-2 dt+4arcsin

對上式中第一項利用分部積分，得

dt=t - td（ ）

=t + dt

=t - dt+2 dt

=t - dt+2 dt

= t + dt

= t +arcsin +C

回到原題，有

dx= dx

=-2（ t +arcsin +C）+4arcsin

=-t +2arcsin +C

=- +2arcsin +C

法六：此法利用了第二類換元法中的根式代換和三角代換。

解：注意到法五中第一步作了根式代換后出現的積分 dt也可以用三角代換來解決，其余部分與法五同，略。

對于積分 dt，作三角代換t= sinu，u∈[- ， ]，則dt= cosudu，此時

dt= 2cos u du= 1+cos 2u du

=u+ sin 2u+C=u+sin u cos u+C

=arcsin + t +C？搖？搖 （利用sinu= ，cosu= 回代得）

回到原題，有

dx=- +2arcsin +C

法七：此法使用了第二類換元的根式代換和分部積分或三角代換，但是根式代換的具體形式不同。

解： dx= dx

設 =t，則x=2-t ，dx=-2t dt，此時上式右端 dx=-2 dt

接下來，對于右端積分或者同法五利用分部積分，或者同法六利用第二類換元法中的三角代換，得

原式= dx=-2 dt

=-2[arcsin + ]+C

=-2arcsin - +C

致謝：本文作者受到“北京高等學校青年英才計劃項目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No. YETP1593）資助。

參考文獻：